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ブロカールの問題(ポール・エルデシュの予想)

19 世紀の数学者アンリ・ブロカールは $n!+1=m^2$ を満たす自然数 $n$ がいくつ存在するのかという問題を提示しました。ポール・エルデシュという数学者は上の方程式を満たす $(m, n)$ の組を3つ挙げて、
「3組だけだ。これ以外の数は存在しないだろう」
と予想し、現在もその3組以外の解は見つかっていません。

【NT21】ブロカールの問題

$n\leq 10$ の範囲で $n!+1=m^2$ を満たす $(m, n)$ を全て求めてください。
 
【ヒント】$n$ は $10$ 以下の数ですので頑張って調べましょう。とは言っても、ぱっと見て左辺が平方数にならないような数はすぐに捨ててしまえば良いのです。「それでも計算が面倒くさい!」と思うのであれば … 電卓を使ってくださいな。

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【解答】左辺の $n!+1$ を順に計算します。
 \[\begin{align*}&1!+1=2\\[6pt]&2!+1=3\\[6pt]&3!+1=7\\[6pt]&4!+1=25\\[6pt]&5!+1=121\\[6pt]&6!+1=721\\[6pt]&7!+1=5041\\[6pt]&8!+1=40321\\[6pt]&9!+1=362881\\[6pt]&10!+1=3628801\end{align*}\]
$n = 4,\ 5$ のときに右辺は平方数になっていることはすぐにわかります。$n = 6$ のときは
 \[右辺=721=7\times 103\]
と素因数分解できて平方数にならないことがわかります。以降は数が大きいので、次のような手順で平方数か否かを判定します。$n = 7$ のときは、右辺が平方数であると仮定し、$a\geq 1$ として
 \[(70+a)^2=5041\]
とおいてみます。この式を整理すると
 \[a^2+140a=141\]
となって、$a=1$ のとき方程式をみたすことがわかります。よって $n=7$ はアンリ・ブロカールの方程式をみたしていることがわかります。残りも同じような手順で行います。一番大きな $n=10$ の場合で試してみると、
 \[(600+a)^2=3628801\]
とおいて、
 \[a^2+1200a=28801\]
という方程式が得られます。
 \[\begin{align*}&a=20\qquad 左辺=24400\\[6pt]&a=21\qquad 左辺=25641\\[6pt]&a=22\qquad 左辺=26884\\[6pt]&a=23\qquad 左辺=28129\\[6pt]&a=24\qquad 左辺=29376\end{align*}\]
となって、この方程式を満たす整数 $a$ は存在しないことがわかります。同じ手順で $n = 8,\ 9$ の場合も平方数とはならないことがわかります。以上より
 \[(m,n)=(4, 5),\ (5, 11),\ (7, 71)\]
がアンリ・ブロカールの方程式を満たす解であることがわかります。つまり $n\leq 7$ の範囲に3つの解が存在しているのです。冒頭でも述べたように、この3つ以外の数がいまだに見つかっていません。

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