互いに素であることを証明します

[問題 NT-22] 互いに素であることの証明

 $n$ を自然数とします。
 $n^2$ と $2n+1$ が互いに素であることを示してください。(一橋大)

問題 NT-22 のヒント

 $a$ と $b$ の最大公約数を $(a,\:b)$ で表すと、 $(a,\:b)=1$ であるような $a$ と $b$ は 互いに素 であるといいます。たとえば 2 と 3 は最大公約数が 1 なので互いに素です。連続する 2 つの数が互いに素であることは自明としてかまいません。

解答の準備

 解答に入る前に具体的な数値で確認しておきましょう。
 $(n^2,\:2n+1)$ を $n$ が小さいほうから並べてみると、
 
\[(1,\:3),\quad (4,\:5),\quad (9,\:7),\quad (16,\:9),\: \cdots\]
となって、確かにそれぞれのペアは互いに素の関係にあるようです。ここで勘の鋭い人であれば、どの組も2つの数字を足すと ......
 
\[4,\quad 9,\quad 16,\quad 25,\: \cdots\]
のように平方数になっていることに気づくと思います。これがわかってしまうと解法の道筋が一気に開けます。

13歳の娘に語る ガウスの黄金定理

中古価格
¥776から
(2017/9/1 13:24時点)

問題 NT-22 の解答

 それでは解答です。
 $n^2$ と $2n+1$ の最大公約数を $g$ とすると自然数 $a,\:b$ を使って
 
\[n^2=ga,\quad 2n+1=gb\]
のように書くことができます。そしてこの2つの数を加えると
 
\[n^2+2n+1=g(a+b)\]
となります。左辺は因数分解できるので
 
\[(n+1)^2=g(a+b)\]
となるので、$g$ は $n^2$ と $(n+1)^2$ の共通の約数にもなっています。ヒントにもあるように連続する2つの数について $(n,\:n+1)=1$ ですから、その平方数同士もまた互いに素の関係にあります。(証明終わり)

$(a,\:b)=1$ ⇒ $(a^2,\:b^2)=1$ の証明

 証明の最後に用いた、

$(a,\:b)=1$ であれば $(a^2,\:b^2)=1$

は自明であるとして構いません。数の扱いに慣れていれば当たり前のことなのです。ただ、どうしても気になる人もおられるでしょうから、念のために背理法による証明を載せておきます:

 $a^2,\:b^2$ が互いに素でないと仮定します。

 つまり $a^2,\:b^2$ は 1 以外の公約数 $m$ をもつことになります。

 $m$ がどのような数であっても素数の積に表せるので、 $a^2,\:b^2$ は何らかの素数 $p$ を約数にもつことになります。

 すると $a,\:b$ がともに $p$ を約数にもつということになり、これは $a,\:b$ が互いに素であるという仮定に反することになります。よって $a^2,\:b^2$ は互いに素です(証明終わり)。

 ≫ [問題23] 倍数になる自然数を求めます ≫ 数学演習問題

スポンサーリンク
スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください