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n^2と2n+1が互いに素であることの証明

【NT22】互いに素であることの証明

$n$ を自然数とします。
$n^2$ と $2n+1$ が互いに素であることを示してください。(一橋大)
 
【ヒント】$a$ と $b$ の最大公約数を $(a,\:b)$ で表すと、$(a,\:b)=1$ であるような $a$ と $b$ は 互いに素 であるといいます。たとえば $2$ と $3$ は最大公約数が $1$ なので互いに素です。連続する 2 つの数が互いに素であることは自明としてかまいません。

【解答準備】解答に入る前に具体的な数値で確認しておきましょう。
$(n^2,\:2n+1)$ を $n$ が小さいほうから並べてみると、
 \[(1,\:3),\quad (4,\:5),\quad (9,\:7),\quad (16,\:9),\:\cdots\]
となって、確かにそれぞれのペアは互いに素の関係にあるようです。ここで勘の鋭い人であれば、どの組も2つの数字を足すと
 \[4,\quad 9,\quad 16,\quad 25,\:\cdots\]
のように平方数になっていることに気づくと思います。これがわかってしまうと解法の道筋が一気に開けます。

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【解答】それでは解答です。
$n^2$ と $2n+1$ の最大公約数を $g$ とすると自然数 $a,\:b$ を使って
 \[n^2=ga,\quad 2n+1=gb\]
のように書くことができます。そしてこの2つの数を加えると
 \[n^2+2n+1=g(a+b)\]
となります。左辺は因数分解できるので
 \[(n+1)^2=g(a+b)\]
となるので、$g$ は $n^2$ と $(n+1)^2$ の共通の約数にもなっています。ヒントにもあるように連続する2つの数について $(n,\:n+1)=1$ ですから、その平方数同士もまた互いに素の関係にあります。■

【補足】証明の最後に用いた、$(a,\:b)=1\Rightarrow (a^2,\:b^2)=1$ は自明であるとして構いません。数の扱いに慣れていれば当たり前のことなのです。ただ、どうしても気になる人もおられるでしょうから、念のために背理法による証明を載せておきます:

$a^2,\:b^2$ が互いに素でないと仮定します。つまり、$a^2,\:b^2$ は 1 以外の公約数 $m$ をもつことになります。$m$ がどのような数であっても素数の積に表せるので、 $a^2,\:b^2$ は何らかの素数 $p$ を約数にもつことになります。すると $a,\:b$ がともに $p$ を約数にもつということになり、これは $a,\:b$ が互いに素であるという仮定に反することになります。よって $a^2,\:b^2$ は互いに素です。[証明終]

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