倍数になるような自然数 n を求めます

[問題 NT-23] 倍数になるような自然数 n を求めます

 $n^2+3$ が $2n+1$ の倍数になるような自然数 $n$ を求めてください。

問題 NT-23 のヒント

 正攻法で解けますが、式変形にちょっとコツがいります。

解答の準備

 今回も解答の前に具体的な数字を入れてみましょう。
 n = 1 から順に $(n^2+3,\:2n+1)$ を並べてみると

(4, 3), (7, 5), (12, 7), (19, 9), (28, 11), (39, 13)

 おっと! n = 6 で条件を満たすペアが現れましたよ。
 でも入試などで「ちょーついてる! これが答えだね!」とそのまま答えを書くと大きく減点されます(おそらくほとんど点をもらえません)。他にも条件を満たすペアがあるかもしれないからです。結論を先にいうと、確かにこの問題では n = 6 が唯一の答えなのですが、いつもそうなるとは限らないのです。

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問題 NT-23 の解答

 問題の趣旨に素直にしたがって、
 
\[n^2+3=(2n+1)k\]
とおいてみます。両辺を $2n+1$ で割って
 
\[k=\frac{n^2+3}{2n+1}\]
と、ここまではスムーズに進むと思います。この先は少し工夫が必要です。分子を変形して分母で割れるような項をつくることを考えますが、分母の $n$ にかかっている係数 2 を見て、両辺を 4 倍すると上手くいくかもしれません。
 
\[4k=\frac{4n^2+12}{2n+1}\]
 これでだいぶ見通しがよくなりました。しかし、ここで慌てて分子の平方完成を試みると(それでも解けますが)、少し面倒な形になります。ここは分子を
 
\[4k=\frac{4n^2-1+13}{2n+1}\]
と変形するのがスマートな手順です。 $4n^2-1$ は分子に $2n-1$ をかけた形になっているからです。つまり
 
\[4k=\frac{(2n+1)(2n-1)+13}{2n+1}\]
ですから、
 
\[4k=2n-1+\frac{13}{2n+1}\]
と変形できます。ここで 13 は素数ですから、この数を割り切れる 1 以外の数は 13 だけです。つまり
 
\[2n+1=13\]
をみたす $n=6$ だけが唯一の答えということになります。

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