当サイトではアフィリエイトプログラムを利用して商品を紹介しています。

三角形の頂点Pの極限の位置を求めます

【CL06】三角形の頂点 P の極限の位置

三角形triangleの極限(浮舟みつき) 図のような三角形 $ABP$ があり、$\angle A=n\theta,\ \angle B=\theta$ とします。底辺 $AB$ を固定しておいて $\theta\rightarrow 0$ としたとき、頂点 $\boldsymbol{P}$ の極限の位置 を求めてください。
 
 
 
 
【ヒント】図をじっと見つめてみると、$n$ を大きくしたら $P$ は左へ寄るし、$n$ を小さくしたら右へ移動しますね。だから最終的に $P$ がどこにくるのか、なんとなく予想できます。

中学入試 算数図形問題完全マスター

中古価格
¥928から
(2021/9/6 16:57時点)


【解答】$AB = a$ とおきます。$\angle P=\pi-n\theta$ なので、正弦定理より
 \[\frac{AP}{\sin\theta}=\frac{a}{\sin (\pi-n\theta)}=\frac{a}{\sin n\theta}\]
が成り立つので、
 \[AP=\frac{\sin\theta}{\sin n\theta}\]
と表せます。$\theta\rightarrow 0$ の極限をとると
 \[\lim_{\theta\rightarrow 0}=\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{n\theta}{\sin n\theta}\frac{\sin\theta}{\theta}\frac{a}{n}=\frac{a}{n}\]
となります。すなわち点 $P$ は $AB$ を $1:n$ に内分する点です。

エクセルや数学に関するコメントをお寄せください