等差数列であるための必要十分条件

 

問題 SQ-05 3 または 5 で割り切れる数の総和

 $100$ 以下の自然数で、$3$ または $5$ で割り切れる数の和を求めてください。
 

SQ-05 のヒント

 足し過ぎ(?)に注意です。
 

解答 SQ-05

 $100$ 以下の $3$ の倍数を並べてみます。
 
\[3,\:6,\:9,\:\cdots,\:96,\:99\]
 これは初項 $3$, 末項 $99$ の等差数列です。和を求めるには項数 $n$ が必要です。
 $n$ は $100$ を $3$ で割って、余りを切り捨てて $33$ です。ガウスの記号 $[x]$ を使うと
 
\[n=\left[\frac{100}{3}\right]=33\]
というように求めることができます。$[x]$ は $x$ を超えない整数という意味です。初項 $a_1$, 末項 $a_l$, 項数 $n$ の等差数列の和の公式は
 
\[S=\frac{n(a_1+a_l)}{2}\]
で与えられるので、$100$ 以下の $3$ の倍数の和は
 
\[S_{(3)}=\frac{33(3+99)}{2}=1683\]
となります。次は $5$ の倍数を並べます。
 
\[5,\:10,\:15,\:\cdots,\:85,\:100\]
 初項 $5$, 末項 $100$ の等差数列です。項数は
 
\[n=\left[\frac{100}{5}\right]=20\]
なので、$100$ 以下の $5$ の倍数の和は
 
\[S_{(5)}=\frac{20(5+100)}{2}=1050\]
となります。ここで $S_{(3)}$ と $S_{(5)}$ を足し合わせると、ちょっと足し過ぎになります。

 3または5の倍数の総和

  $S_{(3)}$ と $S_{(5)}$ をそのまま足してしまうと、上の図のように、「$3$ の倍数かつ $5$ の倍数」の部分を余計に加えてしまっていることになります。したがって、この部分、すなわち「$3$ と $5$ の最小公倍数 $15$ で割り切れる数」を差し引かなくてはなりません。$15$ の倍数を並べてみると
 
\[15,\:30,\:45,\:\cdots,\:75,\:90\]
 これは初項 $15$, 末項 $90$ の等差数列です。項数は
 
\[n=\left[\frac{100}{15}\right]=6\]
なので、$100$ 以下の $15$ の倍数の和は
 
\[S_{(15)}=\frac{6(15+90)}{2}=315\]
となります。したがって、求める数は
 
\[S_{(3)}+S_{(5)}-S_{(15)}=1683+1050-315=2418\]
となります。
 
 

問題 SQ-06 間に $k$ 個の数を入れました

 $10$ と $80$ の間に $k$ 個の数を入れて等差数列をつくると総和が $495$ になりました。
 $k$ の値と公差を求めてください。
 

SQ-06 のヒント

 等差数列の和は初項と末項、項数によって計算します。
 

解答 SQ-06

 $10$ と $80$ の間に入れる $k$ 個の数を $a_n\:(n=1,\:2,\:\cdots,\:k)$ とすると、
 
\[10,\:a_1,\:a_2,\:\cdots,\:a_k,\:80\]
 すなわち、項数 $k+2$ の等差数列になります。
 初項 $a_1$、末項 $a_l$、項数 $n$ の等差数列の総和は
 
\[S=\frac{n(a_1+a_l)}{2}\]
で与えられるので、
 
\[495=\frac{(k+2)(10+80)}{2}\]
 これを解いて $k=9$ が得られます。
 $80$ は初項から数えて $11$ 番目の項なので、公差を $d$ とすると
 
\[80=10+(11-1)d\]
 したがって、求める公差は $d=7$ です。
 
 

問題 SQ-07 逆数が等差数列をなしています

 数列 $\displaystyle\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ は等差数列をなし、$a_4=6,\:a_6=4$ です。
 一般項 $a_n$ を求めて $a_{10}$ を計算してください。

(福岡大 一部改)

 

SQ-07 のヒント

 公差を求めましょう。
 

解答 SQ-07

 数列 $\displaystyle\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ の公差を $d$ とすると
 
\[f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{1}{a_6}-\frac{1}{a_5} &=d\\[6pt]
\displaystyle\frac{1}{a_5}-\frac{1}{a_4} &=d\end{cases}\]
が成り立ちます。すなわち、
 
\[f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{1}{4}-\frac{1}{a_5} &=d\\[6pt]
\displaystyle\frac{1}{a_5}-\frac{1}{6} &=d\end{cases}\]
 これを解いて $d=\displaystyle\frac{1}{24}$ となります。
 $\displaystyle\frac{1}{a_4}$ から公差の $3$ 倍を引けば初項が得られます。
 
\[\frac{1}{a_1}=\frac{1}{a_4}-3d=\frac{1}{6}-\frac{1}{8}=\frac{1}{24}\]
 したがって、等差数列 $\displaystyle\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ の一般項は
 
\[\frac{1}{a_n}=\frac{1}{24}+\frac{n-1}{24}=\frac{n}{24}\]
となります。よって $a_n$ は
 
\[a_n=\frac{24}{n}\]
と表せます。$a_{10}$ を計算すると
 
\[a_{10}=\frac{12}{5}\]
となります。
 
 

問題 SQ-08 3 次方程式の 3 解が等差です

 方程式 $x^3-9x^2+2x+k=0$ の $3$ 解が等差であるとき、$k$ の値と解を求めてください。
 

SQ-08 のヒント

 $3$ 個の解を等差であるような形で表しましょう。
 しかし、それを直接方程式に入れると計算が大変です。
 

解答 SQ-08

 こういう問題では 解と係数の関係 を使うのがセオリーです。
 公差を $d$ として、求める $3$ 解を
 
\[a-d,\:a,\:a+d\:(d\gt 0)\]
とおくと(対称なので $d\lt 0$ としても同じです)、解と係数の関係より、
 
\[\begin{align*}&(a-d)+a+(a+d)=9\\[6pt]
&(a-d)a+a(a+d)+(a-d)(a+d)=2\\[6pt]
&(a-d)a(a+d)=-k\end{align*}\]
が成り立ちます。これを解くと $a=3,\:d=5,\:k=48$ が得られます。求める $3$ 個の解は
 
\[(a-d,\:a,\:a+d)=(-2,\:3,\:8)\]
となります。
 

問題 SQ-09 等差数列の共通項を並べます

 初項 $2$、公差 $3$ の等差数列を $\{a_n\}$、初項 $1$、公差 $5$ の等差数列を $\{b_n\}$ とします。$\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ に共通する項を並べた数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めてください。
 

SQ-09 のヒント

 整数と数列の融合問題です。$\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ を具体的に書き並べてみると、なんとなく答えが予想できるかもしれません。

問題 SQ-09 の考え方

 問題を解く前に数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ を並べてみます。
 
\[\begin{align*}&a_n=2,\:5,\:8,\:11,\:14,\:17,\:20,\:23,\:26,\:29,\:32,\:\cdots\\[6pt]
&b_n=1,\:6,\:11,\:16,\:21,\:26,\:31,\:36,\:41,\:46,\:51,\:\cdots\end{align*}\]
 $11$ と $26$ が一致しています。公差 $3$ と $5$ の最小公倍数は $15$ なので、$c_n$ はおそらく $15n-4$ という形になっていると予測できます。もちろん正式な解答では任意の $n$ についてそれが成り立っていることを証明しなくてはなりません。
 

解答 SQ-09

 数列 $\{a_m\}$ と $\{b_m\}$ の一般項はそれぞれ
 
\[\begin{align*}&a_m=2+3(m-1)=3m-1\\[6pt]
&b_n=1+5(n-1)=5n-4\end{align*}\]
 $a_m=b_n$ とおくと、
 
\[3m-1=5n-4\]
 式を整理すると
 
\[3(m+1)=5n\]
となります。ここで左辺と右辺が等しくなるためには、左辺は $5$ を約数にもっていなければなりません。しかし、$3$ と $5$ の最大公約数は $1$ ですから(すなわち $3$ と $5$ は互いに素なので)、お互いを約数にもちません。よって、$m+1$ の約数の中に $5$ があるはずです。すなわち
 
\[m+1=5k\]
とおくことができます。したがって $a_{5k-1}$ が 数列 $c_m$ の各項と一致します。
 
\[a_{5k-1}=3(5k-1)-1=15k-4\quad (k=1,\:2,\:\cdots)\]
 よって、求める数列 $\{c_n\}$ の一般項は
 
\[c_n=15n-4\quad (n=1,\:2,\:\cdots)\]
となります。
 
 

問題 SQ-10 等差数列であるための必要十分条件

 数列 $\{a_n\}$ の初項 $a_1$ から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とします。
 $S_n=pn^2+qn+r$ ($r,\:p,\:q$ は定数) のとき、$\{a_n\}$ が等差数列であるための必要十分条件を求めてください。

(相模工大)

 

SQ-10 のヒント

 やや難度の高い問題です。$S_n$ と $a_n$ の関係を使います。
 この問題の結論は覚えておきたいところです。
 

SQ-10 の考え方

 等差数列の第 $n$ 項は $S_n$ から $S_{n-1}$ を差し引いた形で表せます。
 
\[a_n=S_n-S_{n-1}\quad (n\geq 2)\]
 ただし、$n=1$ のときは $S_1=a_1$ です。
 

解答 SQ-10

 $n\geq 2$ のとき、
 
\[\begin{align*}a_n&\,=S_n-S_{n-1}\\[6pt]
&\,=pn^2+qn+r-\{p(n-1)^2+q(n-1)+r\}\\[6pt]
&\,=p+q+2p(n-1)\end{align*}\]
 公差 $d$ の等差数列の一般項は $a_n=a_1+(n-1)d$ なので、
 
\[a_2,\:a_3,\:a_4,\:\cdots\]
は公差 $2p$ の等差数列であることがわかります。したがって、
 
\[a_2-a_1=2p\tag{1}\]
という条件さえ満たせば、$a_1$ も含めて $\{a_n\}$ は等差数列になります。$S_n$ を使って左辺を計算すると
 
\[\begin{align*}a_2-a_1&\,=(S_2-S_1)-S_1=S_2-2S_1\\[6pt]
&\,=4p+2q+r-2(p+q+r)\\[6pt]
&\,=2p-r\end{align*}\]
 したがって、条件式 (1) は
 
\[2p-r=2p\]
となるので、$\{a_n\}$ が等差数列であるための必要十分条件は $r=0$ です。

 ≫ 数学の演習問題はこちらにまとめてあります

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