解の比が 1 : 2 になるように k を定めます

 

AG-17 解の比が 1 : 2 になるように k を定めます

 2次方程式

\[x^2-3kx-4(k-1)=0\]の2つの解の比が 1:2 になるように \(k\) を定めて解を求めてください。

AG-17 のヒント

 問題文に素直にしたがって解を設定します。

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AG-17 の解答

 2つの解を \(\alpha,\:2\alpha\) とおくと、解と係数の関係より
 
\[3\alpha=3k,\quad 2\alpha^2=4(k-1)\]
となるので、 \(\alpha=k\) であることがわかります。上の2式から \(\alpha\) を消去して整理すると
 
\[k^2-2k+2=0\]
という \(k\) に関する2次方程式が得られるので、これを解いて
 
\[k=1\pm i\]
と決まります。したがって解は
 
\[1+i,\quad 2+2i\]
 あるいは
 
\[1-i,\quad 2-2i\]
のいずれかになります。
 
 

AG-18 2 次式を 1 次式の積に因数分解します

 2次式 \(P=x^2-(2m-3y)x+my^2-5y+3\) が1次式の積に因数分解できるように整数 \(m\) を定めてください。
 

AG-18 のヒント

 1次式となるための条件を考えましょう。最終的には m に関する3次方程式が得られるはずですが、 m が整数であるという条件があるので、解を得るのはそれほど難しくありません。

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AG-18 の解答

 P = 0 とおいた2次方程式の解は
 
\[x=\frac{3y-2m \pm \sqrt{D_1}}{2}\]
となります。ここに D1
 
\[D_1=(2m-3y)^2-4(my^2-5y+3)\]
です。これを y について整理すると
 
\[D_1=(9-4m)y^2+4(5-3m)y+4(m^2-3)\]
となります。 P を (x-α)(x-β) のように因数分解したときに、 ( ) の中身が x と y の1次式であるためには、 D1
 
\[D_1=(x-\gamma)^2\]
という形になっている(方程式 D1 = 0 が重解をもつ)必要があります。ややこしいですけど判別式 D1 の判別式 D2/4 = 0 が条件となります。
 
\[\frac{D_2}{4}=4(3m-5)^2+4(m^2-3)(4m-9)=0\]
 これを整理すると
 
\[2m^3-21m+26=0\]
という方程式を得ることができます。整数解を求めるので、もう少し書き換えて
 
\[m(21-2m^2)=26\]
とします。右辺の数字 26 は
 
\[26=1 \cdot 26,\quad(-1) \cdot (-26),\quad2 \cdot 13,\quad(-2) \cdot (-13)\]
と分解できますが、方程式を満たすのは
 
\[m=2,\quad 21-2m^2=13\]
という組合せだけです。よって \(m=2\) が答えとなります。
 
 

AG-19 解の絶対値を解にもつ 2 次方程式

(1) 2次方程式
\[x^2+px+mq=0 \qquad [\mathrm{A}]\]の解の絶対値を解にもつ2次方程式 [B] を求めなさい。

(2) \(p=2,\:q=1\) としたとき、
  方程式 [A] と [B] と、それぞれの解を求めてください。
 

AG-19 のヒント

 問題文通りに素直に解答を進めてゆけば解けるはずです。
 (2) は具体例で感覚を掴んでもらおうと添えた簡単な問題です。
 

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AG-19 の解答

 2つの解を α, β とすると、解と係数の関係を用いて
 
\[\alpha+\beta=-p,\quad \alpha\beta=q \qquad[1]\]
と書けます。 α, β の絶対値を解にもつ2次方程式は
 
\[x^2-(|\alpha|+|\beta|)\:x+|\alpha||\beta| \qquad[2]\]
と表すことができます。ここで α + β を計算するために α + β の平方を計算します。
 
\[\begin{align*}(|\alpha|+|\beta|)^2=\:&\alpha^2+2\:|\alpha||\beta|+\beta^2\\[6pt]
=\:&(\alpha+\beta)^2-2\:\alpha\beta+2\:|\alpha||\beta|\\[6pt]
=\:&p^2-2q+2|q|\end{align*}\]
 したがって
 
\[|\alpha|+|\beta|=\sqrt{p^2+2\:(|q|-q)},\quad |\alpha||\beta|=q\]
となるので、これを [2] に代入して
 
\[x^2-\sqrt{p^2+2\:(|q|-q)}\:x+|q| \qquad [B]\]
という方程式を得ることができます。

(2) p = 2, q = 1 を代入すると方程式 [A] と [B] は
 
\[\begin{align*}&x^2+2x+1=0 \qquad [A]\\[6pt]
&x^2-2x+1=0 \qquad [B]\end{align*}\]
となります。方程式 [A] の左辺を因数分解すると
 
\[(x+1)^2=0\]
ですから、その解は \(x = -1\) となります。方程式 [B] は
 
\[(x-1)^2=0\]
となって解は \(x = 1\) となり、 [A] の解の絶対値となっています。
 
 

AG-20 4つの未知数を組合わせます

 4つの未知数 \(a,\:b,\:c,\:d\) が
\[a+b=1,\quad ab=2,\quad c+d=4,\quad cd=8\]という関係を満たすとき、
\[A=ac+bd,\quad B=ad+bc\]で表される A, B を求めてください。

AG-20 のヒント

 条件から \(a,\:b\) を解とする2次方程式をつくって \(a,\:b\) を求めることはできますが、このようにして求めた \(a,\:b,\:c,\:d\) を使って A, B の値を求めるのはかなり面倒です。もっと別の方法を考えたほうがよさそうです。いったん方針が定まるとパズルのようにするする解けますよ。

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AG-20 の解答

 A と B を加えてみると
 
\[A+B=a\:(c+d)+b\:(d+c)=(a+b)(c+d)=4\]
となります。次に A と B の積をつくると
 
\[AB=(ac+bd)(ad+bc)=a^2cd+abc^2+abd^2+b^2cd\]
 ここで ab = 2, cd = 8 を入れて
 
\[AB=8\:(a^2+b^2)+2\:(c^2+d^2)\]
と表すことができます。ここで
 
\[\begin{align*}a^2+b^2=&\:(a+b)^2-2ab=3\\[6pt]
c^2+d^2=&\:(c+d)^2-2cd=0\end{align*}\]
ですから、 AB = -24 となります。 A, B を解とする方程式は
 
\[x^2-(A+B)\:x+AB=0\]
ですから、 A + B = 8 と AB = -24 を代入すると
 
\[x^2-4x+24=0\]
となるので、これを解いて
 
\[x=2 \pm 2\sqrt{5}i\]
を得ます。したがって、
 
\[A=2+2\sqrt{5}i,\quad B=2-2\sqrt{5}i\]
 あるいは
 
\[A=2-2\sqrt{5}i,\quad B=2+2\sqrt{5}i\]
となります。
 
 

AG-21 3 次の項を含む連立方程式

 \(x^3+y^3=x^2+y^2=x+y\) を解いてください。(関西学院大)

AG-21 のヒント

 どう考えたって (x, y) = (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) 以外の解はありそうにないですけど、それを確認するためにも、とにかく解いてみるしかありません。

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AG-21 の解答

 x + y = z とおいて2つの変数を1つにまとめてしまえれば楽になりそうです。
 そのためには x + y を2乗したり3乗したりする必要があります。
 ただし、そのときに出てくる x y という項も z で表さなくてはなりません。
 大まかな方針が決まったところで解答に進みましょう。
 まずは x2 + y2 = x + y の方程式から変形してみます。
 式の途中で x + y = z に置き換えます。
 
\[\begin{align*}&x^2+y^2=x+y\\[6pt]
&(x+y)^2-2xy=x+y\\[6pt]
&z^2-2xy=z\\[6pt]
&\therefore xy=\frac{z^2-z}{2}\end{align*}\]
 次に x3 + y3 = x + y を変形します。
 
\[\begin{align*}&x^3+y^3=x^2+y^2\\[6pt]
&(x+y)^3-3xy\:(x+y)=x+y\\[6pt]
&z^3-3\:\frac{z^2-z}{2}z=z\\[6pt]
&z^3-3z^2+2z=0\\[6pt]\end{align*}\]
 ようやく z の方程式を得たので、これを解きます。
 
\[z\:(z-1)(z-2)=0\]
より z = 0, 1, 2 を得ます。あとは値ごとに場合分けします。

(ⅰ) z = 0 のとき
 
\[x+y=0,\quad xy=0\]
なので、この方程式を満たすのは (x, y) = (0, 0) のみです。

(ⅱ) z = 1 のとき
 
\[x+y=1,\quad xy=0\]
となって、 (x, y) = (1, 0) , (0, 1) が解となります。

(ⅲ) z = 2 のとき
 
\[x+y=2,\quad xy=1\]
となるので y を消去すると
 
\[x^2-2x+1=0\]
ですから、(x, y) = (1, 1) が解となります。

 以上より与えられた方程式を満たす x, y は
 
\[(x,y)=(0,0),\quad (1,0),\quad (0,1),\quad (1,1)\]
となります。予想通りの答えでしたね。 ≫ 数学演習問題

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