[AG17] 解の比が 1 : 2 になるように k を定めます
二次方程式
\[x^2-3kx-4(k-1)=0\]の２つの解の比が 1：2 になるように \(k\) を定めて解を求めてください。
【ヒント】問題文に素直にしたがって解を設定します。
解答AG17
２解を \(\alpha,\:2\alpha\) とおくと、解と係数の関係より
\[3\alpha=3k,\quad 2\alpha^2=4(k-1)\]
となるので、 \(\alpha=k\) であることがわかります。上の２式から \(\alpha\) を消去して整理すると
\[k^2-2k+2=0\]
という \(k\) に関する２次方程式が得られるので、これを解いて
\[k=1\pm i\]
と決まります。したがって解は
\[1+i,\quad 2+2i\]
あるいは
\[1-i,\quad 2-2i\]
のいずれかになります。
[AG18] 2 次式を 1 次式の積に因数分解します
２次式 \(P=x^2-(2m-3y)x+my^2-5y+3\) が１次式の積に因数分解できるように整数 \(m\) を定めてください。
AG-18 のヒント
１次式となるための条件を考えましょう。最終的には m に関する３次方程式が得られるはずですが、 m が整数であるという条件があるので、解を得るのはそれほど難しくありません。
AG-18 の解答
P = 0 とおいた２次方程式の解は
\[x=\frac{3y-2m \pm \sqrt{D_1}}{2}\]
となります。ここに D1 は
\[D_1=(2m-3y)^2-4(my^2-5y+3)\]
です。これを y について整理すると
\[D_1=(9-4m)y^2+4(5-3m)y+4(m^2-3)\]
となります。 P を (x－α)(x－β) のように因数分解したときに、 ( ) の中身が x と y の１次式であるためには、 D1 が
\[D_1=(x-\gamma)^2\]
という形になっている（方程式 D1 = 0 が重解をもつ）必要があります。ややこしいですけど判別式 D1 の判別式 D2/4 = 0 が条件となります。
\[\frac{D_2}{4}=4(3m-5)^2+4(m^2-3)(4m-9)=0\]
これを整理すると
\[2m^3-21m+26=0\]
という方程式を得ることができます。整数解を求めるので、もう少し書き換えて
\[m(21-2m^2)=26\]
とします。右辺の数字 26 は
\[26=1 \cdot 26,\quad(-1) \cdot (-26),\quad2 \cdot 13,\quad(-2) \cdot (-13)\]
と分解できますが、方程式を満たすのは
\[m=2,\quad 21-2m^2=13\]
という組合せだけです。よって \(m=2\) が答えとなります。
AG-19 解の絶対値を解にもつ 2 次方程式
(1) ２次方程式
\[x^2+px+mq=0 \qquad [\mathrm{A}]\]の解の絶対値を解にもつ２次方程式 [B] を求めなさい。
(2) \(p=2,\:q=1\) としたとき、
方程式 [A] と [B] と、それぞれの解を求めてください。
AG-19 のヒント
問題文通りに素直に解答を進めてゆけば解けるはずです。
(2) は具体例で感覚を掴んでもらおうと添えた簡単な問題です。
AG-19 の解答
２つの解を α, β とすると、解と係数の関係を用いて
\[\alpha+\beta=-p,\quad \alpha\beta=q \qquad[1]\]
と書けます。 α, β の絶対値を解にもつ２次方程式は
\[x^2-(|\alpha|+|\beta|)\:x+|\alpha||\beta| \qquad[2]\]
と表すことができます。ここで α + β を計算するために α + β の平方を計算します。
\[\begin{align*}(|\alpha|+|\beta|)^2=\:&\alpha^2+2\:|\alpha||\beta|+\beta^2\\[6pt]
=\:&(\alpha+\beta)^2-2\:\alpha\beta+2\:|\alpha||\beta|\\[6pt]
=\:&p^2-2q+2|q|\end{align*}\]
したがって
\[|\alpha|+|\beta|=\sqrt{p^2+2\:(|q|-q)},\quad |\alpha||\beta|=q\]
となるので、これを [2] に代入して
\[x^2-\sqrt{p^2+2\:(|q|-q)}\:x+|q| \qquad [B]\]
という方程式を得ることができます。
(2) p = 2, q = 1 を代入すると方程式 [A] と [B] は
\[\begin{align*}&x^2+2x+1=0 \qquad [A]\\[6pt]
&x^2-2x+1=0 \qquad [B]\end{align*}\]
となります。方程式 [A] の左辺を因数分解すると
\[(x+1)^2=0\]
ですから、その解は \(x = -1\) となります。方程式 [B] は
\[(x-1)^2=0\]
となって解は \(x = 1\) となり、 [A] の解の絶対値となっています。
AG-20 ４つの未知数を組合わせます
４つの未知数 \(a,\:b,\:c,\:d\) が
\[a+b=1,\quad ab=2,\quad c+d=4,\quad cd=8\]という関係を満たすとき、
\[A=ac+bd,\quad B=ad+bc\]で表される A, B を求めてください。
AG-20 のヒント
条件から \(a,\:b\) を解とする２次方程式をつくって \(a,\:b\) を求めることはできますが、このようにして求めた \(a,\:b,\:c,\:d\) を使って A, B の値を求めるのはかなり面倒です。もっと別の方法を考えたほうがよさそうです。いったん方針が定まるとパズルのようにするする解けますよ。
AG-20 の解答
A と B を加えてみると
\[A+B=a\:(c+d)+b\:(d+c)=(a+b)(c+d)=4\]
となります。次に A と B の積をつくると
\[AB=(ac+bd)(ad+bc)=a^2cd+abc^2+abd^2+b^2cd\]
ここで ab = 2, cd = 8 を入れて
\[AB=8\:(a^2+b^2)+2\:(c^2+d^2)\]
と表すことができます。ここで
\[\begin{align*}a^2+b^2=&\:(a+b)^2-2ab=3\\[6pt]
c^2+d^2=&\:(c+d)^2-2cd=0\end{align*}\]
ですから、 AB = －24 となります。 A, B を解とする方程式は
\[x^2-(A+B)\:x+AB=0\]
ですから、 A + B = 8 と AB = －24 を代入すると
\[x^2-4x+24=0\]
となるので、これを解いて
\[x=2 \pm 2\sqrt{5}i\]
を得ます。したがって、
\[A=2+2\sqrt{5}i,\quad B=2-2\sqrt{5}i\]
あるいは
\[A=2-2\sqrt{5}i,\quad B=2+2\sqrt{5}i\]
となります。
AG-21 3 次の項を含む連立方程式
\(x^3+y^3=x^2+y^2=x+y\) を解いてください。（関西学院大）
AG-21 のヒント
どう考えたって (x, y) = (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) 以外の解はありそうにないですけど、それを確認するためにも、とにかく解いてみるしかありません。
AG-21 の解答
x + y = z とおいて２つの変数を１つにまとめてしまえれば楽になりそうです。
そのためには x + y を２乗したり３乗したりする必要があります。
ただし、そのときに出てくる x y という項も z で表さなくてはなりません。
大まかな方針が決まったところで解答に進みましょう。
まずは x2 + y2 = x + y の方程式から変形してみます。
式の途中で x + y = z に置き換えます。
\[\begin{align*}&x^2+y^2=x+y\\[6pt]
&(x+y)^2-2xy=x+y\\[6pt]
&z^2-2xy=z\\[6pt]
&\therefore xy=\frac{z^2-z}{2}\end{align*}\]
次に x3 + y3 = x + y を変形します。
\[\begin{align*}&x^3+y^3=x^2+y^2\\[6pt]
&(x+y)^3-3xy\:(x+y)=x+y\\[6pt]
&z^3-3\:\frac{z^2-z}{2}z=z\\[6pt]
&z^3-3z^2+2z=0\\[6pt]\end{align*}\]
ようやく z の方程式を得たので、これを解きます。
\[z\:(z-1)(z-2)=0\]
より z = 0, 1, 2 を得ます。あとは値ごとに場合分けします。
(ⅰ) z = 0 のとき
\[x+y=0,\quad xy=0\]
なので、この方程式を満たすのは (x, y) = (0, 0) のみです。
(ⅱ) z = 1 のとき
\[x+y=1,\quad xy=0\]
となって、 (x, y) = (1, 0) , (0, 1) が解となります。
(ⅲ) z = 2 のとき
\[x+y=2,\quad xy=1\]
となるので y を消去すると
\[x^2-2x+1=0\]
ですから、(x, y) = (1, 1) が解となります。
以上より与えられた方程式を満たす x, y は
\[(x,y)=(0,0),\quad (1,0),\quad (0,1),\quad (1,1)\]
となります。予想通りの答えでしたね。
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