黄金比と貴金属数(黄金数、白銀数、青銅数)

 

[AG-25] 長方形を切り出して黄金比を求めます

 黄金比長方形分割図のように赤い枠線で囲われた長方形に相似になるように青く塗られた長方形を切り出します。

(1) 赤枠の長方形の長いほうの辺の長さを \(a\), 短いほうの辺の長さを \(b\) とします。
 比率 \(k =a/b\) を求めて有効数字 4 桁の有理数で近似してください。計算には \(\sqrt{5}=2.2361\) の値を用いてください。

(2) 赤枠の長方形の面積を A, 青く塗られた長方形の面積を B とします。
  面積比 \(s=A/B\) を求めてください。

AG-25 のヒント

 有名な黄金比を求める問題です。縦の長さをどのようにおくかがポイントです。
 

≫ [Amazon 数学書籍] 数学の世界
[内容:フィボナッチ数列において、隣り合う項の比の ∞ の極限は黄金比となります/x を関数の変数とし、a, b, c などを定数という慣習を定着させたのはフランスの数学者デカルトです/ガウスは測量の仕事をきっかけに曲面の幾何学の研究を始めたようです]

 

AG-25 の解答

 縦の長さに対する横の長さの比を知りたいのですから、縦の長さを 1 とおけば簡単です。問題の条件より横の長さは k ですね。大きい長方形と小さい長方形は相似なので、
 
\[1:k=k-1:1\]
という関係があります。したがって k の方程式は
 
\[1=k\:(k-1)\]
となり、これを整理すると
 
\[k^2-k-1=0\]
という2次方程式を得ます。解の公式より k > 0 となる解は
 
\[k=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]
となります。これに \(\sqrt{5}=2.2361\) を入れて計算すると
 
\[k=\frac{1+2.2361}{2}=1.618\]
となります。これが 黄金比 とよばれる数字です。

(2) 図より大きい長方形の面積は A = k , 小さい長方形の面積は B = k - 1 とおくことができるので、その比を計算すると
 
\[s=\frac{A}{B}=\frac{k}{k-1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\]
を得ることができます。

[補足] 黄金比 (golden ratio)

 黄金比 はもっとも美しい比率だと言われています。その存在は数千年前から知られており、紀元前に記された『ユークリッド原論』、ローマ時代の建築家ウィトルウィウスによる『 De Architectura (建築十書)』などにその記述が確認されています。
 古代ギリシャのパルテノンは黄金比によって形作られた有名な神殿です。ただこの建築物の比率が数学的根拠に基づいて定められたかどうかはわかりません。美的感覚に優れた人であれば、数学を知らなくても直感的に黄金比を選択する可能性があるからです。
 現代でも黄金比はとても身近な存在で、コミックや名刺など様々な日用品の中にその姿が隠されています。美しい比率であるということは、人目をひくということでもありますから、もし漫画が黄金比でなかったら、売上に大きな影響を及ぼしていたかもしれませんね。商品が黄金比であるということと利益の間の相関関係を調べてみるのも面白そうです(でもこれは経済学の分野ですね)。皆さんも日々の暮らしの中で「黄金比」を見つけてみてください(長さの比が 1:1.618 ですよ。お忘れなく!)。
 
 

[AG-26] 貴金属数(黄金数、白銀数、青銅数)

 2次方程式 \(x^2-nx-1=0\) の解 \(x_n\) を 第 n 貴金属数 とよびます。

(1) n = 1 (黄金数)、n = 2 (白銀数)、n = 3 (青銅数) を求めてください。

(2) \(x_n-1/x_n=n\) となることを示してください。

AG-26 のヒント

 前回の問題 (AG-27) をより一般化した 貴金属数 (metallic number) に関する問題です。とてもやさしい問題ですので気楽に解いてみてください。
 

≫ [Amazon 数学書籍] 美しすぎる数学(数楽アートを生んだ日本の底力)
[内容:大田区にある大橋製作所は伝統的職人技術を継承するメタル事業部と、ハイテク機器を開発する機器事業部によって構成される企業です。大橋製作所はアナログとデジタル技術を組合わせて『数楽アート』という製品を作り上げました。そのデザインの背景には美しい「補助線」が潜んでいます。日本は古来からモノづくりと数学、芸術を巧みに融合させて華道、俳句、建築などの文化を発展させてきました。その数学文化は現代の町職人にも引き継がれて新たなるモノを生みだし続けているのです]

 

AG-26 の解答

(1) 解の公式を使って \(x^2-nx-1=0\) を解くと
 
\[x_n=\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\]
となるので、 n = 1, 2, 3 を入れると
 
\[\begin{align*}x_1=&\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\[6pt]
x_2=&1+\sqrt{2}\\[6pt]
x_3=&\frac{3+\sqrt{13}}{2}\end{align*}\]
となります。

(2) \(x_n\) の逆数をとって分母を有理化します。
 
\[\begin{align*}\frac{1}{x_n}=&\frac{2}{n+\sqrt{n^2+4}}\\[6pt]
=&\frac{2\:(n-\sqrt{n^2+4})}{(n+\sqrt{n^2+4})(n-\sqrt{n^2+4})}\\[6pt]
=&\frac{2\:(n-\sqrt{n^2+4})}{-4}\\[6pt]
=&\frac{-n+\sqrt{n^2+4}}{2}\end{align*}\]

 \(x_n-1/x_n\) を計算すると
 
\[x_n-\frac{1}{x_n}=\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}-\frac{-n+\sqrt{n^2+4}}{2}=n\]
となります。
 

[補足] 白銀比は日本古来の比率です

 1:√2 または 1:1 + √2 という比率は 白銀比 とよばれています。とくに 1:√2 の白銀比は奈良の法隆寺にも取り入れられるなど、日本で古くから親しまれてきた比率であり、「大和比」ともよばれています。現代でもコピー用紙や A5 ノートなど身近なところで目にします。黄金比が「美しさ」を強調するのに対して、白銀比は「実用性」の高い比率だと言われ、工業製品の規格に多用されています。

 ≫ 代数学演習問題

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