数学公式集 ガンマ関数の定義と解析接続
ガンマ関数階乗 $n!$ を複素数にまで拡大定義した関数がガンマ関数です。数学者オイラーによって発見されたので、第２種オイラー積分と呼ばれることもあります。その名のとおり、ガンマ関数は積分によって定義される関数です: \ $t$ の指数 $...
あとりえこばと
数学公式集 数学公式集 ガウス積分
指数関数の微分と積分指数関数の導関数は次の形で求められます。 \(a^x)'&=a^x\log a\tag{2}\end{align*}\] ここに $e$ はネイピア数（自然対数の底）であり、 \ によって定義されています。また公式 (2...
数学公式集 部分積分法と置換積分法
部分積分法積の微分公式 \'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\] の両辺を積分すると \ となるので、次の 部分積分法 (integration by parts) の公式を得ることができます。 \ $f'(x)$ から $f(x)...
数学演習と解答 親和数（自身を除いた約数の和が互いに等しくなる数）
【NT20】親和数（友愛数）ある自然数 $N$ について約数の和を $S(N)$ と書くことにします。いま異なる２つの自然数 $m,\ n$ があって、 \が成り立つとき、$(m,\;n)$ は親和数（amicable numbers）とよ...
計算の技術 平均算の解き方（凸凹を均します）
平均算の解き方平均算とは、読んで字のごとく平均を扱う問題です。平均とはいくつかの数量を均したもので、次のように定義されています。 平均 = 合計値 ÷ 個数 ストレートに平均を計算させる問題よりも、予め平均が与えられていて、そこから個数...
計算の技術 年齢算の解き方
年齢算とは、ある時点での２人の人物の年齢をもとに、年上の人物の年齢が年下の人物の年齢の整数倍になるのはいつかというようなことを求める問題です（複雑な問題になると人数が増えたりします）。解法パターンを覚えてしまえば基本問題は解けるようになりま...
計算の技術 【損益算】仕入れ値（原価）・定価・利益の計算
損益算とは読んで字の如く「損するのかな？ それとも得をする（益を得る）のかな？という計算をする問題です。要するに物の売り買いを題材に仕入れ値（原価）、定価、利益、割引、消費税などを問われる類の問題です。中学入試や SPI に頻出する算数の代...
計算の技術 方陣算（中実方陣と中空方陣）の解き方
中実方陣と中空方陣正方形に並べた碁石を数えるような問題を方陣算といいます。方陣という名称は戦場で兵士を四角形に並べた陣立てに由来します。方陣は大まかに分けると２種類あって、中までぎっしり詰まった並び方を中実方陣 、中を取り除いた並び方を中空...