ディオクレスの疾走線 (cissoid)

疾走線の描き方

　　今回はいきなり右側にグラフを載せてしまいますが、赤いラインが ディオクレスの疾走線（シッソイド） と呼ばれるグラフです。ちなみに原語の cissoid は「蔦（つた）の形」という意味です。
　
　図にあるように OA を直径とする円に y 軸と並行となるような接線を引き、O を通る直線と円および接線との交点を Q, R とします。そして OP = QR となるように点 P をとり、R が動くときの P の軌跡が疾走線です。その方程式は円の半径を a として
　
\[x^3+(x-a)y^2=0 \qquad (a \gt 0)\]
で与えられます。極形式は
　
\[r=2a \tan \theta \sin \theta\]
で表され、またパラメータ変数を用いて
　
\[x=\frac{at^2}{1+t^2}, \quad y=\frac{at^3}{1+t^2}\]
と表すこともできます（右図はこの形式を用いて描かれています）。

非対称な葉線

　疾走線のパラメータ表示に三角関数を組込んで
　
\[x=\frac{t^2 \sin t}{1+t^2}, \quad 10y=\frac{t^3 \sin t}{1+t^2}\]
としてみます（ y 軸方向のサイズ調整のために y は 10 で割ってあります）。

　葉のような形が現れましたね。
　しかし x 軸に対しても y 軸に対しても微妙に非対称になっています。
　

不思議な渦巻

　上の方程式で y の sint を cost に変えて
　
\[x=\frac{t^2 \sin t}{1+t^2}, \quad 10y=\frac{t^3 \cos t}{1+t^2}\]
としてみます。

　奇妙な渦巻きが現れました。原点で S の字を描くようにして少しずつ外側へ広がってゆきます。