連続と不連続

 

連続 Continuity

 下図のように、関数 $f(x)$ が定義された区間内に 1 点 $a$ をとります。

 Excel連続関数のグラフ

 $x$ を限りなく $a$ に近づけたとき、つまり

$|x-a| \rightarrow 0$ であるときに、$|f(x)-f(a)| \rightarrow 0$

となるのであれば、関数 $f(x)$ は $x=a$ で連続 (coutinuous) である といいます。極限記号を使って書くと
 
\[\lim_{x \rightarrow a}|f(x)-f(a)|=0\]
すなわち
 
\[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=f(a)\]
であれば関数 $f(x)$ は $x=a$ で連続です。

 次の条件が成り立つとき、 $y=f(x)$ は $x=a$ で連続であるといいます。

 ① $f(x)$ が $a$ の前後で定義されている。

 ② $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)$ が存在している。

 ③ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

 もし区間内の任意の点 $a$ で上の条件が成り立つのであれば、 $y=f(x)$ はその区間内で連続であるといいます。直感的に説明すると、関数のグラフを鉛筆でなぞったときに一度も紙面から鉛筆の先が離れなければ、その関数は区間内で連続だということです。

端点について

 しかしこの定義だけでは「区間の端ではどうなるのか?」という疑問が生じます。たとえば下図のように区間 $[\alpha,\:\beta]$ で定義された関数 $f(x)$ があるとします。

 Excel区間を限定した関数

 この場合、$x$ を負の方向(左側)から $\alpha$ に近づけることができません。しかし $x$ を正方向(右側)から $\alpha$ に近づけたときの極限値 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \alpha+0}f(x)$ が存在し、 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \alpha+0}f(x)=f(\alpha)$ であるならば、関数 $y=f(x)$ は $x=\alpha$ で連続であると考えます。同様に端点 $\beta$ においても、 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \beta-0}f(x)=f(\beta)$ ならば、関数 $y=f(x)$ は $x=\beta$ で連続です。

連続の例

 $f(x)=\log x$ は $x=1$ で連続です。
 なぜなら $x=1$ の前後で $f(x)=\log x$ は定義され、$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x)$ が存在し、$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x)=\log 1=0$ となるからです。同様に $x \gt 0$ のあらゆる点で連続であることがわかります。
 

不連続 Discontinuity

 連続条件を1つでも満たさない場合、関数 $y=f(x)$ は点 $x=a$ において不連続 (discontinuous) である といいます。たとえば $y=1/(x-1)$ は $x=1$ で不連続です。

 Excel分数関数のグラフ

 そもそも $f(1)$ が定義されていないし、 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x)$ も存在しないからです。

連続関数 Continuous Functions

 以下に連続関数の性質をまとめておきます。

 $f(x),\:g(x)$ がある区間で連続であれば
\[kf(x),\quad f(x) \pm g(x),\quad f(x)g(x)\]も連続であり、$g(x) \neq 0$ の点について
\[\frac{f(x)}{g(x)}\]もまた連続です。

 この性質から多項式
 
\[f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+ \: \cdots \: a_n\]
は全て連続であることがわかります。また 2 つの多項式 $f(x),\:g(x)$ があって、それぞれを分子分母とする関数 $y=f(x)/g(x)$ , すなわち有理関数もまた分母が 0 になる点を除けば連続です。

 $f(x)$ が $x=a$ で連続で $f(a)=b$ , $g(x)$ が $x=b$ で連続ならば
 合成関数 $g(f(x))$ は $x=a$ で連続となります。

 すなわち $\cos (\cos x)$ や $\exp (x^3)$ などは実数全域で連続です。
 

微分可能な関数は連続です
 Differentiable Functions are Continuous

 いたるところで滑らかな関数は連続です。つまり

 微分可能な関数は連続です。

という定理が成り立ちます。

微分可能な関数は連続であることの証明

 ある区間で関数 $y=f(x)$ が定義されていて微分可能であるならば、
 
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}\]
が存在します。つまり
 
\[\lim_{x\rightarrow 0}\Delta y=\frac{dy}{dx}\lim_{x\rightarrow 0}\Delta x=0\]
となるので、$y=f(x)$ はこの区間で連続です。

逆は成り立ちません

 しかし連続であるからといって、その関数が微分可能であるとはいえません。
 たとえば原点で折れ曲がる $f(x)=|x|$ という関数について考えてみます。
 この関数は $x=0$ でも確かに連続ではありますが、
 
\[\Delta y=f(0+\Delta x)-f(0)=|\Delta x|\]
となるので、$\Delta x \gt 0$ では
 
\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1\]
であり、$\Delta x \lt 0$ では
 
\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1\]
となってしまって微分は不可能です。

 ≫ 数学辞典

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