【Excel】標本相関係数 (ピアソンの積率相関係数)

　標本相関係数（ピアソンの積率相関係数） は２つのデータ同士の関連性の強さ（線型相関の程度）を表す数値です。大きさ $n$ の標本 $(x_i,\:y_i)$ については
　
\[C_{xy}=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}}\]
という数式で表され、－1 から 1 の値をとるように定義されています。値が正のときは「正の相関がある」、負のときは「負の相関がある」と表現します。一般的に得られた数値の絶対値が大きいほどに種類のデータの関連性が強く、逆に 0 に近いほど関連性は薄いと考えます。大まかな目安として、次のような評価を行ないます。

相関係数の絶対値 0.0 ～ 0.2　　相関がほとんどない
相関係数の絶対値 0.2 ～ 0.4　　相関が少しある
相関係数の絶対値 0.4 ～ 0.7　　相関がかなりある
相関係数の絶対値 0.7 ～ 1.0　　強い相関がある

　ただし、これはあくまで目安の指標なので、実際には全く関係のないデータ同士であっても「相関が少しある」のような結果が現れてしまうこともあります。

【Excel】CORREL関数・PEARSON関数

　Excel には２つの配列の間の標本相関係数を計算する CORREL という関数が用意されています（全く同じはたらきをする PEARSON という関数もあります）。

=CORREL(配列1,配列2)

　以下でサンプルデータを使って相関係数を計算してみます。

年齢と身長の相関係数

　次の表は 6 歳から 18 歳までの男子を無作為に選んで身長を記録した（という想定で作成されたサンプルの）データです。年齢と身長の間に相関があることは、ほぼ疑いのない事実ですが、その相関の強さがどれくらいなのか確かめてみましょう。

　上の表をコピーしてセル B2 に貼りつけてください。
　表の体裁を整えてから、セル E2 に

=CORREL(B3:B15,C3:C15)

と入力します。

　

　得られる値は 0.979 ですから、非常に強い相関があることがわかります。ただし年齢上限値を大きくすると、成人以降は身長が伸びないので相関は弱くなります。ちなみに年齢上限を 70 歳にしたときの相関係数は約 0.3 です。さきほどの指標で結論するなら「相関が少しある」という程度になってしまいます。CORREL 関数の代わりに PEARSON 関数を使って

=PEARSON(B3:B15,C3:C15)

と入力しても同じ結果が得られます。

乱数列同士の相関係数

　次は乱数群同士の相関を調べてみます。乱数 A は 1 ～ 100, 乱数 B は 1 ～ 200 の範囲で出力された無作為な整数です。

　こんなものに相関なんてあるわけない … そう考えるのが普通ですね。だって、デタラメな数なのですから。しかし、怖ろしい（？）結果が待ち受けています。上の表をコピーしてセル B2 に貼りつけてください。それから、どこでもいいので適当なセルに

=CORREL(B3:B12,C3:C12)

あるいは

=PEARSON(B3:B12,C3:C12)

と入力してください。「 -0.363740446 」という負の相関が現れてしまいます。これは先ほどの指標では「相関が少しある」ということになります。70 歳を上限とした年齢と身長データの相関よりも大きな値です。これは相関係数があくまで「直線傾向の強さ」を表していることに起因します。たとえ乱数であっても下限値と上限値が近いと、これぐらいの相関を示します。ちなみに乱数 B の上限値を 1000 まで広げると、相関係数は約 0.1 まで下がります。