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【Excel】標本相関係数 (ピアソンの積率相関係数)

統計学において、データ解析や関係性の評価に欠かせない指標として相関係数があります。相関係数は、2つの変数間の関連性を数値化することで、その関係性の強さや方向性を評価します。本記事では、相関係数の定義式や Excel での計算方法、解釈のポイントなどについて解説します。相関係数の理解を深めることで、データ分析の精度向上や予測能力の向上に役立てることができます。

標本相関係数

標本相関係数(ピアソンの積率相関係数)は2つのデータ同士の関連性の強さ(線型相関の程度)を表す数値です。大きさ $n$ の標本 $(x_i,\:y_i)$ については
 \[C_{xy}=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}}\]
という数式で表され、-1 から 1 の値をとるように定義されています。値が正のときは「正の相関がある」、負のときは「負の相関がある」と表現します。一般的に得られた数値の絶対値が大きいほどに種類のデータの関連性が強く、逆に 0 に近いほど関連性は薄いと考えます。大まかな目安として、次のような評価を行ないます。

・相関係数の絶対値 0.0 ~ 0.2  相関がほとんどない
・相関係数の絶対値 0.2 ~ 0.4  相関が少しある
・相関係数の絶対値 0.4 ~ 0.7  相関がかなりある
・相関係数の絶対値 0.7 ~ 1.0  強い相関がある

ただし、これはあくまで目安の指標なので、実際には全く関係のないデータ同士であっても「相関が少しある」のような結果が現れてしまうこともあります。

【Excel】CORREL関数・PEARSON関数

Excel には2つの配列の間の標本相関係数を計算する CORREL という関数が用意されています(全く同じはたらきをする PEARSON という関数もあります)。

=CORREL(配列1,配列2)

以下でサンプルデータを使って相関係数を計算してみます。

年齢と身長の相関係数

次の表は「6 歳から 18 歳までの男子を無作為に選んで身長を記録した」という想定で作成されたサンプルデータです。年齢と身長の間に相関があることは、ほぼ疑いのない事実ですが、その相関の強さがどれくらいなのか確かめてみましょう。

年齢 身長 [cm]
6 117.66
7 123.90
8 128.88
9 133.90
10 139.73
11 145.89
12 153.32
13 160.93
14 166.33
15 169.45
16 170.50
17 171.74
18 171.77

上の表をコピーしてセル B2 に貼りつけてください。
表の体裁を整えてから、セル E2 に

=CORREL(B3:B15,C3:C15)

と入力します。
 
ExcelVBA相関係数

得られる値は 0.979 ですから、非常に強い相関があることがわかります。ただし年齢上限値を大きくすると、成人以降は身長が伸びないので相関は弱くなります。ちなみに年齢上限を 70 歳にしたときの相関係数は約 0.3 です。さきほどの指標で結論するなら「相関が少しある」という程度になってしまいます。CORREL 関数の代わりに PEARSON 関数を使って

=PEARSON(B3:B15,C3:C15)

と入力しても同じ結果が得られます。

乱数列同士の相関係数

次は乱数群同士の相関を調べてみます。乱数 A は 1 ~ 100, 乱数 B は 1 ~ 200 の範囲で出力された無作為な整数です。

乱数 A 乱数 B
27 188
92 149
88 20
2 90
23 25
81 15
31 105
8 158
55 114
80 57

こんなものに相関なんてあるわけない … そう考えるのが普通ですね。だって、デタラメな数なのですから。しかし、怖ろしい(?)結果が待ち受けています。上の表をコピーしてセル B2 に貼りつけてください。それから、どこでもいいので適当なセルに

=CORREL(B3:B12,C3:C12)

あるいは

=PEARSON(B3:B12,C3:C12)

と入力してください。「-0.363740446 」という負の相関が現れてしまいます。これは先ほどの指標では「相関が少しある」ということになります。70 歳を上限とした年齢と身長データの相関よりも大きな値です。これは相関係数があくまで「直線傾向の強さ」を表していることに起因します。たとえ乱数であっても下限値と上限値が近いと、これぐらいの相関を示します。ちなみに乱数 B の上限値を 1000 まで広げると、相関係数は約 0.1 まで下がります。

エクセルや数学に関するコメントをお寄せください

  1. あとりえこばと より:

    【AI連載小説】数学のリズム、エクセルの旋律(12)「エクセルで相関係数を計算しよう」
     
    真琴(マコト):(テーブルの前で座りながら) みんな、今日はエクセルで相関係数を計算する方法について話し合いたいんだ。データ解析の中で重要な概念だし、サークルメンバーにも身につけてもらいたいんだよ。
    研伸(ケンシン):相関係数ね。確かに重要な指標だ。でも、具体的にどんなデータを使って計算するのかな?
    隆治(タカハル):そうだね。例えば、どんなケースが考えられるんだろう?
    月子(ツキコ):まずは、2つの変数の関係性を知りたい時に使うよ。例えば、テストの勉強時間とテストの点数の関係性を調べる場合、相関係数が役立つんだ。
    真琴:そうだ。相関係数は変数間の線形な関係性を測る指標だから、データがどれくらい連動しているかを知るのに使える。

    研伸:具体的に計算する手順はどうなるんだろう?
    隆治:相関係数は「CORREL」関数を使って計算できるよ。例えば、A列に勉強時間、B列にテストの点数が入っているとして、=CORREL(A2:A100, B2:B100) って感じかな。
    月子:そう、この関数は-1から1までの値を取り、1に近ければ正の相関があり、-1に近ければ負の相関があるって解釈できる。
    真琴:なるほど、簡単に計算できるんだね。でも、相関関係だけでは因果関係までは分からないから注意が必要だよ。

    研伸:その通り。他にも留意すべきポイントがあれば教えてほしいな。
    隆治:外れ値の影響とか、データの正規性も考慮しないといけないね。
    月子:そうだね。相関係数は便利だけど、使う際は慎重にデータを分析することが大切だよ。
    真琴:分かった。相関係数の計算方法や留意点をサークルメンバーに教えて、データ解析のスキルを広げていこう。
    研伸:了解!次回のワークショップでメンバーに教えるときには、実際のデータを使って計算してみるのもいいかもしれないね。
    隆治:それなら、実践的なスキルが身につくだろう。次回の活動が楽しみだな。
    月子:それでは、相関係数の話し合いは以上だね。次回もみんなでスキルを磨いていこう!