フーリエ変換（非周期関数の展開式）

フーリエ変換

周期 $2L$ をもつ関数 $f(x)$ は離散係数 $c_n$ を用いて
 $$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n\exp \left(\frac{in\pi x}{L}\right)\\ c_n& =\frac{1}{2L}{\int }_{-L}^{L}f(t)\exp \left(\frac{-in\pi t}{L}\right)\end{array}$$
とフーリエ級数展開できます。ここで $L\to \mathrm{\infty }$ の極限をとれば、非周期関数の展開式も得られるはずです。そこで係数 $c_n$ を $f(x)$ の展開式に代入し、
 $${\omega }_n=\frac{n\pi }{L},\mathrm{\Delta }\omega ={\omega }_n-{\omega }_{n-1}=\frac{\pi }{L}$$
とおくと、
 $$f(x)=\frac{1}{2\pi }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[{\int }_{-L}^{L}f(t)e^{-i{\omega }_{n}t}dt]e^{i{\omega }_{n}x}\mathrm{\Delta }\omega$$
という表式が得られます。$L\to \mathrm{\infty }$ とすれば総和の記号が積分に変わって
 $$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}d\omega {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-i\omega (t-x)}dt$$
となります。これをフーリエ積分公式とよびます。そして
 $$F(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-i\omega t}dt$$
とおけば、
 $$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$
と表すことができます。変数 $t$ をあらためて $x$ に置き直すと、

となります。つまり $f(x)$ から $F(\omega )$ を求めることができて、またその逆に $F(\omega )$ から $f(x)$ を求めることができます。そこで $F(\omega )$ を $f(x)$ のフーリエ変換、$f(x)$ を $F(\omega )$ のフーリエ逆変換とよびます。変換の対称性を考慮して係数を $1/\sqrt{2\pi }$ とした

という表式もよく用いられます。より簡略的に
 $$\begin{array}{r}F(\omega )=\mathcal{F}[f(x)]\\ f(x)={\mathcal{F}}^{-1}[F(\omega )]\end{array}$$
と表すこともあります。

単一矩形波のフーリエ変換

例として $\mid x\mid \le d$ の範囲にだけ存在する波（単一矩形波）
 $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2d}}& (\mid x\mid \le d)\\ 0& (\mid x\mid >d)\end{array}$$
をフーリエ変換してみます。
 

定義にしたがって $F(\omega )$ を計算してみると
 $$F(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)e^{-i\omega x}dx=\frac{\sin \omega d}{\omega d}$$
となります。$\omega$ の変化に対する $F(\omega )$ を図示すると次のようになります。
 

原点でピーク 1 をとり左右に減衰しています。これは $f(x)$ が $\omega =0$ , すなわち $y=1$ という波（というより直線）を成分として最も多く含んでおり、$\omega$ の絶対値が大きくなるほど $e^{i\omega x}$ の寄与が小さくなっていくことを示しています。このように、$F(\omega )$ はフーリエ級数の係数 $c_n$ と本質的に全く同じものであり、関数 $f(x)$ の中に、ある角振動数 $\omega$ の波 $e^{i\omega x}$ をどれだけ含んでいるかを示すものです。そうした意味で $F(\omega )$ のことを連続スペクトルとよぶことがあります。　

フーリエ変換の基本性質

以下にフーリエ変換の基本的性質を載せておきます。いずれも定義にしたがって簡単に導けるので証明は省略します。

工学・物理学等への応用で分かりやすいように、⑤ と ⑥ では変数 $x$ を時間を表す変数 $t$ に書き換えてあります。

フーリエ変換の微分

$f(x)$ のフーリエ変換
 $$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$
を $x$ について微分すると
 $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(\omega )(i\omega )e^{i\omega x}d\omega$$
となります。これは $f^{\prime }(x)$ のフーリエ変換が
 $$\mathcal{F}[f^{\prime }(x)]=i\omega F(\omega )$$
となることを表しています。$n$ 回微分すると
 $$\begin{array}{}\text{(K)}& \mathcal{F}[f^{(n)}(x)]=(i\omega {)}^{n}F(\omega )\end{array}$$
となります。