条件つき確率と乗法定理

 

条件付き確率 Conditional Probability

 ある事象 $A$ が起こったときに事象 $B$ が起こる確率を 条件付き確率 (conditional probability) とよび、$P(B|A)$ と表します。

 Excel条件付確率

 上図のように標本空間 $S$ の中に事象 $A,\:B$ を考えるとき、$P(B|A)$ は $A$ の中で事象 $A\cap B$ が起こる確率なので、
\[P(B|A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}\]と表すことができます。ここで
\[P(A)=\frac{n(A)}{n(S)},\quad P(A\cap B)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}\]を代入すると
\[P(B|A)=\frac{n(A\cap B)}{n(S)}\frac{n(S)}{n(A)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\]となるので、乗法定理

\[P(A\cap B)=P(A)P(B|A)\]

を得ることができます。この定理を言葉で書くと、

 [A, B がともに起こる確率] = [A が起こる確率]
               [A が起こったときに B が起こる確率]

となります。乗法定理はより多くの事象を考える場合でも成り立ち、たとえば 3 つの事象 $A,\:B,\:C$ については
\[P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B|A)P(C|A\cap B)\]という式になります。

トランプから続けて 2 枚のスペードが引かれる確率

 ジョーカーを除いた 52 枚のトランプのカードから続けて 2 枚引いて、2 枚ともスペードである確率を計算してみます。事象を $A,\:B$ を次のように定義しておきます。

 [事象 A] 1 枚目のカードがスペードである。
 [事象 B] 2 枚目のカードがスペードである。

 最初は 52 枚のカードから 1 枚を引くので
\[P(A)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\]であり、次は 51 枚のカードから 1 枚を引くので
\[P(B|A)=\frac{12}{51}=\frac{4}{17}\]となります。2 枚ともスペードになる確率は乗法定理を用いて
\[P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=\frac{12}{51}\frac{4}{17}=\frac{1}{17}\]と計算することができます。
 

事象の独立性 Independence of Events

 ジョーカーを除いた 52 枚のトランプのカードから 1 枚を引いて、それを戻してよくシャッフルし、もう 1 度カードを引きます。このとき 2 枚ともスペードである確率を計算してみます。事象を $A,\:B$ を次のように定義しておきます。

 [事象 A] 1 枚目のカードがスペードである。
 [事象 B] 2 枚目のカードがスペードである。

 最初は 52 枚のカードから 1 枚を引くので
\[P(A)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\]となります。そして次もまた 52 枚のカードから 1 枚を引くので
\[P(B|A)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\]となります。よって乗法定理より
\[P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=\frac{1}{4}\frac{1}{4}=\frac{1}{16}\]と計算することができます。先ほどの例と異なって、2 回目にカードを引くときにスペードである確率は、(カードの総数が変わらないので)1 回目の結果がどのようなものであろうと影響を受けていません。すなわち
\[[P(B|A)=P(B)\]が成り立っていて、乗法定理は
\[P(A\cap B)=P(A)P(B)\]という簡単な式で表されます。このように 2 つの事象 $A,\:B$ があって、一方の事象が起こることが、他方の事象が起こることに影響を与えないとき、事象 $A$ と $B$ は 独立 (independent) であるといいます。また事象 $A$ と $B$ がでないときは、事象 $A$ と $B$ は 従属 (dependent) であるといいます。 ≫ 数学事典

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