【Excel】y=exp(1/x)をプロットして調べます

【Excel】exp(1/x)の解析

e の x 乗根 というシンプルな関数です。しかし、いざグラフを描こうとしても「不連続点」という厄介な問題が立ち塞がります。式の形から単調減少であることはすぐ分かると思いますが、一応微分して確かめてみます。この手の関数の微分は両辺の対数をとると簡単に計算できます。すなわち
 $$\log y=\frac{1}{x}$$
の形にしてから両辺を $x$ で微分すると
 $$\begin{array}{rl}\frac{d(\log f)}{dx}\frac{df}{dx}& =-\frac{1}{x^2}\\ \frac{1}{f}\frac{df}{dx}& =-\frac{1}{x^2}\\ \frac{df}{dx}& =-\frac{e^{1/x}}{x^2}\end{array}$$
$f^{\prime }(x)$ は常に負で、$f(x)$ は単調減少関数です。$f^{\prime }(x)$ をもう１度微分して
 $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{(1+2x)e^{1/x}}{x^4}$$
を得るので、$f(x)=0$ とおいて変曲点
 $$(x,y)=(-\frac{1}{2},\frac{1}{e^2})$$
が存在することが分かります。さらに $f(1)=e$ であり、また $x\to \pm \mathrm{\infty }$ での極限は
 $$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=1$$
となり、$y=1$ が漸近線となっています。さて、ここからが問題となるところですが、 $x\to 0$ の極限はどうなるでしょう。実はこの点に関しては慎重な扱いが必要です。 $x\to +0$（正の側から $\theta$ に近づく極限）と $x\to -0$ （負の側から $0$ に近づく極限）の値が異なっているからです：
 $$\begin{array}{rl}\underset{x\to +0}{lim}f(x)& =\underset{x\to +0}{lim}{e}^{1/x}=\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to -0}{lim}f(x)& =\underset{x\to 0}{lim}{e}^{-1/\left|x\right|}=\underset{x\to 0}{lim}1/e^{1/\left|x\right|}=0\end{array}$$
つまり原点はこの関数の不連続点となっています。以上の情報をもとにグラフを描くと …
 

$x=0$ を境に関数の値が「飛んで」しまっています。このような簡単な表式の関数で不連続点が現れてしまうことは、ちょっと驚きですね。次はもう少し複雑な不連続関数を見てみましょう。先程扱った $e^{1/x}$ が分母に含まれていますから、微分しなくても、この関数が単調増加であることがわかります。やはり $x=0$ が不連続点となります。先ほど計算した $e^{1/x}$ の極限値を使えば、
 $$\begin{array}{rl}\underset{x\to +0}{lim}f(x)& =0\\ \underset{x\to -0}{lim}f(x)& =1\end{array}$$
となることがすぐにわかります。グラフを描いてみましょう：
 

 
今度は不連続点を境に有限の極限値をとっています。