不連続な関数

f(x) = e1/x (x ≠ 0)

 e の x 乗根というシンプルな関数です。しかしいざグラフを描こうとしても「不連続点」という厄介な問題が立ち塞がります。

 式の形から単調減少であることはすぐ分かると思いますが、一応微分して確かめてみます。この手の関数の微分は両辺の対数をとると簡単に計算できます:

logy = 1/x

 この形にしてから両辺を x で微分します:
 
\[\begin{align*}
\frac{d(logf)}{dx}\frac{df}{dx}&=-\frac{1}{x^{2}}\\
\frac{1}{f}\frac{df}{dx}&=-\frac{1}{x^{2}}\\
\frac{df}{dx}&=-\frac{e^{1/x}}{x^{2}}
\end{align*}\]
 f'(x) は常に負で、f(x) は単調減少関数です。これをもう1度微分して
 
\[f''(x)=\frac{(1+2x)e^{1/x}}{x^{4}}\]
を得ますので、f''(x) = 0 とおいて

変曲点 (x, y) = (-1/2, 1/e2)

が存在することが分かります。

 さらに f(1) = e であり、また x → ±∞ での極限は
 
\[\lim_{x\rightarrow \pm \infty }f(x)=1\]
となり、y = 1 が漸近線となっています。さて、ここからが問題となるところですが、x → 0 の極限はどうなるでしょう。実はこの点に関しては慎重な扱いが必要です。 x → + 0 (正の側から 0 に近づく極限)と x → -0 (負の側から 0 に近づく極限)の値が異なっているからです:
 
\[\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow +0 }f(x)&=\lim_{x\rightarrow +0 }e^{1/x}=\infty \\
\lim_{x\rightarrow -0 }f(x)&=\lim_{x\rightarrow 0 }e^{-1/\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow 0 }1/e^{1/\left | x \right |}=0
\end{align*}\]
 つまり原点はこの関数の不連続点となっています。
 以上の情報をもとにグラフを描くと ......

 不連続関数01

 x = 0 を境に関数の値が「飛んで」しまっています。
 このような簡単な表式の関数で不連続点が現れてしまうことは、ちょっと驚きですね。
 

f(x) = ex/(1 + e1/x) (x≠0)

 もう少し複雑な不連続関数を見てみましょう。先程扱った e1/x が分母に含まれていますから、微分しなくても、この関数が単調増加であることがわかります。やはり x = 0 が不連続点となります:

 先ほど計算した e1/x の極限値を使えば、

\[\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow +0 }f(x)&=0\\
\lim_{x\rightarrow -0 }f(x)&=1
\end{align*}\]
となることがすぐにわかります。グラフを描いてみましょう:

 不連続関数02

 今度は不連続点を境に有限の極限値をとっています。


 

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