左右非対称な関数

左右非対称な関数

 次のような関数を定義します。
 
\[f(x) = \frac{1-sinx}{1+sinx}\tag{1}\]
 ただし -pi/2 < x < 3pi/2 を定義域としておきます。
 さっそくグラフを描いてみます:

 f=[1-sinx]dv[1+sinx]

 x = pi/2 で最小値をとっていますね。
 念のために f(x) を微分して確認してみます。
 商の微分公式 (g/f)' = [g'f - gf']/f2 を用いて計算すると、
 
\[f'(x)=\frac{-2cosx}{(1+sinx)^{2}}\] 
が得られます。f'(x) = 0 となるのは x = pi/2 です。定義域の端で

x → - pi/2 : f(x) → + ∞
x →  3pi/2 : f(x) → + ∞

ですから、f(pi/2) は最小値であることがわかります。

分子の sinx を cosx に変えてみます。
 
\[g(x) = \frac{1-cosx}{1+sinx}\tag{1}\]
 
 g=[1-cosx]dv[1+sinx]

 y = f(x) が歪んだような 左右非対称 な関数です。
 最小値は先程と同じように求められます。
 
\[g'(x)=\frac{\sqrt{2}\: sin(\theta +\pi/4)+1}{(1+sinx)^{2}}\]
 g'(x) = 0 となるのは、x = 2n pi。
 定義域の範囲で考えると x = 0 です。
 定義域の端で g(x) → + ∞ となるのは f(x) のときと同じです。

 y = f(x) や y = g(x) の正確な概形を描くのは、手計算ではちょっと難しいと思います。 y = f(x) の底にべったりとくっついた形に気づくのは難しく、もう少し上ずった 2 次関数のような概形を描いてしまう可能性が高いです。 y = g(x) の場合は x = pi の付近で折れ曲がっている所が難しいですね。極値でもないし、変曲点でもありませんから。いずれも入試などでは出題しにくいタイプの関数です。
 

漸近線によって区切られた関数

 log[(cosx)^2]

基本的な情報を確認しておきましょう。

x → ± pi/2 で cosx → 0 , f(x) → -∞ となりますから、漸近線

 x = pi/2 + n*pi ( n = 0, ±1, ±2)

によって区切られた周期関数であることがわかります。
とりあえず - pi/2 < x < pi/2 の範囲で考えてみます。
 
\[f'(x)=-\frac{2sinx}{cosx}\]
となるので、 f'(x) = 0 とおいて、xm = 0 で極値をとります。

x < 0 で f' > 0
x > 0 で f' < 0

ですから、f(0) は最大値となっています。
 

不連続点の除去

log の中を 1 + cos2x にすると、不連続点は取り除かれます。
 
log[(cosx)^2+1]

f(x) を微分すると
 
\[f'(x)=-\frac{sin2x}{1+cos^{2}x}\]
ですから、 x = n*pi/2 で極値をとります。ただし、

     n = 2k    最大値 f(k*pi) = log2
     n = 2k + 1  最小値 f(k*pi + pi/2) = 0

という周期関数であることがわかります。

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