部分積分法と置換積分法

部分積分法

積の微分公式
 $$[f(x)g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$$
の両辺を積分すると
 $$f(x)g(x)=\int f^{\prime }(x)g(x)dx+\int f(x)g^{\prime }(x)dx$$
となるので、次の 部分積分法 (integration by parts) の公式を得ることができます。
 $$\begin{array}{}\text{(A)}& \int f^{\prime }(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g^{\prime }(x)dx\end{array}$$
$f^{\prime }(x)$ から $f(x)$ は積分をすることになるので、$f^{\prime }(x)$ には積分しやすいほうの関数を選ぶのが普通です。部分積分の適用例として、一番有名な対数関数の積分を求めてみましょう。つまり
 $$\int \log xdx$$
を求めるわけですが、被積分関数が２つの関数の積の形になっていないので最初は戸惑うかもしれません。しかし $f^{\prime }(x)=1$ と見て
 $$\int 1\cdot \log xdx$$
と考えるのです。つまり $f^{\prime }(x)=1$ を積分すると $f(x)=x$ ですから、
 $$\begin{array}{rl}\int 1\cdot \log xdx& =x\log x-\int x\cdot \frac{1}{x}\\ & =x\log x-x+C\end{array}$$
と計算できます (C は積分定数)。
 
$f(x)e^x$ の形の積分は頻出するので、次の公式を覚えておくと便利です。
 $$\begin{array}{}\text{(B)}& \int f(x)e^{x}dx& =[f(x)-f^{\prime }(x)+f^{\prime \prime }(x)-f^{\prime \prime \prime }(x)+\cdots ]e^x\text{(C)}& \int f(x)e^{-x}dx& =-[f(x)+f^{\prime }(x)+f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime \prime \prime }(x)+\cdots ]e^{-x}\end{array}$$

【公式(B)の証明】証明は部分積分を順に適用するだけです。
 $$\begin{array}{rl}\int f(x)e^{x}dx& =f(x)e^x-\int f^{\prime }(x)e^{x}dx\\ & =f(x)e^x-(f^{\prime }(x)e^x-\int f^{\prime \prime }(x)dx)\\ & =\cdots \cdots \cdots \\ & =[f(x)-f^{\prime }(x)+f^{\prime \prime }(x)-f^{\prime \prime \prime }(x)+\cdots ]e^x\end{array}$$
公式 (C) も同じように証明できます。たとえば $x^2{e}^x$ を積分すると
 $$\int x^2{e}^{x}dx=(x^2-2x+2)e^x$$
となります。あるいは $x^3{e}^x$ を積分すると
 $$\int x^3{e}^{x}dx=(x^3-3x^2+6x-6)e^x$$
となります。

置換積分法

$F^{\prime }(x)=f(x)$ となるような関数 $F(x)$ を考えます。また変数 $x$ は別の変数 $t$ と $x=\psi (t)$ で関連づけられているとします。合成関数の微分公式を用いて $F(x)$ を &t& で微分すると、
 $$\frac{dF(\psi (t))}{dt}=\frac{dF(x)}{dx}\frac{dx}{dt}=f(x){\psi }^{\prime }(t)$$
となります。両辺を &t& で積分すると
 $$F(\psi (t))=\int f(\psi (t)){\psi }^{\prime }(t)dt$$
と $F(x)$ を積分形式で書くことができます。ここで
 $$F(x)=\int f(x)dx$$
ですから、
 $$\begin{array}{}\text{(D)}& \int f(x)dx=\int f(\psi (t))\psi (t)\end{array}$$
というように $x$ による積分を $t$ による積分に変換することができます。これを 置換積分法 (Integration by substitution) とよびます。$x\sqrt{1-x}$ を置換積分で計算してみます。$1-x=t$ とおくと、$dx/dt=-1$ すなわち $dx=-dt$ なので
 $$\begin{array}{rl}\int x\sqrt{1-x}dx& =\int (1-t)\sqrt{t}(-dt)\\ & =\int (t^{3/2}-t^{1/2})dt\\ & =\frac{2}{5}{t}^{5/2}-\frac{2}{3}{t}^{3/2}+C\\ & =-\frac{2}{15}{t}^{3/2}(3t-5)+C\\ & =-\frac{2}{15}(1-x{)}^{3/2}(3x+2)+C\end{array}$$
となります。この計算のポイントは、元の式では根号の中身が多項式になっているところを、変数 $t$ を導入することによって根号の中を単項式に変えているところです。こうした僅かな形の違いが積分実行の可否を分けることがあるのです。