解と係数の関係

二次方程式の係数と解の間には次のような関係があります：

二次方程式

a x^{2} + b x + c = 0

の２解を

α, β

とすると、

α + β = - \frac{b}{a}, α β = \frac{c}{a}

が成り立つ。

【定理の証明】解の公式を用いると $a x^{2} + b x + c = 0$ の解は
$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$
なので、
$α = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}, β = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}$
とおくと、

$\begin{aligned} α + β = & - \frac{b}{2 a} (1 + \sqrt{D} + 1 - \sqrt{D}) = - \frac{b}{a} \\ α β = & \frac{1}{4 a^{2}} (- b + \sqrt{D}) (- b - \sqrt{D}) = \frac{c}{a} \end{aligned}$
となります。■

公式ではありませんが、
$\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = - \frac{b}{c}$
も覚えておくと便利です。

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ を例に解と係数の関係を確認しておきましょう。定理を用いると
$α + β = - \frac{2}{3}, α β = - \frac{1}{3}$
となります。方程式の左辺を因数分解して
$(3 x - 1) (x + 1) = 0$
より $x = - 1, 1 / 3$ ですから、 $α = - 1, β = 1 / 3$ とおくと
$α + β = - \frac{2}{3}, α β = - \frac{1}{3}$
となって、定理から導いた値と一致しています。

三次方程式の解と係数の関係も見ておきましょう。

三次方程式

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0

の解を

α, β, γ

とすると

α + β + γ = - \frac{b}{a}, α β + β γ + γ α = \frac{c}{a}, α β γ = - \frac{d}{a}

が成り立つ。

【定理の証明】 $α, β, γ$ を解にもつ方程式は
$a (x - α) (x - β) (x - γ) = 0$
と書くことができます。左辺を展開すると
$\begin{aligned} x^{3} - & (α + β + γ) x^{2} \\ + & (α β + β γ + γ α) - α β γ \end{aligned}$
となるので、係数を比較すると上の公式を得ることができます。■

解と係数の関係

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