xsinx と xcosx の積分

xsinx と xcosx の積分
 Integral of xsinx, Integral of xcosx

 $x\sin x$ と $x\cos x$ の積分公式です。
 導出することは難しくありませんが、できれば覚えてしまって少しでも時間を節約したいところです:
 
\[\begin{align*}\int x\mathrm{sin}xdx=\mathrm{sin}x-x\mathrm{cos}x+C\tag{1}\\
\int x\mathrm{cos}xdx=\mathrm{cos}x+x\mathrm{sin}x+C\tag{2}\end{align*}\]

(1) と (2) の証明

 $x \sin x$ の積分は部分積分によっても求められますが、$x\cos x$ を微分するほうがより簡単です:

  \((x\mathrm{cos}x)' = \mathrm{cos}x-x\mathrm{sin}x = (\mathrm{sin}x)' - x\mathrm{sin}x\)

  \(\therefore x\mathrm{sin}x = (\mathrm{sin}x)' - (x\mathrm{cos}x)'\)

 同様に $x\cos x$ の積分は $x\sin x$ を微分することによって得られます:

  \((x\mathrm{sin}x)' = \mathrm{sin}x + x\mathrm{cos}x = (-\mathrm{cos}x)' + x\mathrm{cos}x\)

  \(\therefore x\mathrm{cos}x = (\mathrm{cos}x)' + (x\mathrm{sin}x)'\)
 

計算例

 三角関数の変数が $mx$ になっているときは $t = mx$ と変換します:
 
\[\begin{align*}\int x\mathrm{sin}mxdx&=\frac{1}{m^{2}}\int t\mathrm{sin}t\: dt\\
&=\frac{1}{m^{2}}(\mathrm{sin}t-t\mathrm{cos}t)+C\\
&=\frac{1}{m^{2}}\: \mathrm{sin}mx-\frac{x}{m}\mathrm{cos}mx+C\end{align*}\]
\[\begin{align*}\int x\mathrm{cos}mxdx&=\frac{1}{m^{2}}\int t\mathrm{cos}t\: dt\\
&=\frac{1}{m^{2}}(\mathrm{cos}t+t\mathrm{sin}t)+C\\
&=\frac{1}{m^{2}}\: \mathrm{cos}mx+\frac{x}{m}\mathrm{sin}mx+C\end{align*}\]
 余力があれば、この $m$ を含んだ公式を覚えてしまいましょう。
 

f(x)sinx の積分 Integral of f(x)sinx

 次の公式は無理に覚える必要はありませんが、どこかに控えておくと、証明に役立つことがあります。$f^{n}(x)$ は $n$ 階導関数を表す記号です。
 
\[\int f(x)\mathrm{sin}xdx=\sum_{k=0}^{\infty }(-1)^k\: [f^{(2k+1)}(x)\mathrm{sin}x-f^{(2k)}(x)\mathrm{cos}x] \tag{1}\]
 積分定数 $C$ は省略してあります。

(1) の証明

 単純に部分積分を実行します。
 
\[\begin{align*}I(x)=\int f(x)\mathrm{sin}xdx&=-f(x)\mathrm{cos}x+\int f^{(1)}(x) \mathrm{cos}xdx\\
&=-f(x)\mathrm{cos}x+f^{(1)}(x) \mathrm{sin}x-\int f^{(2)}(x) \mathrm{sin}xdx\end{align*}\]
 最後の積分は $I(x)$ の $f(x)$ のところを $f”(x)$ に置き換えただけなので、あとは繰り返しになります。
 
\[\begin{align*}I(x)=&-f(x)\mathrm{cos}x+f^{(1)}(x)sinx\\
&-\left \{ -f^{(2)}(x) \mathrm{cos}x+f^{(3)}(x) \mathrm{sin}x-\int f^{(4)}(x) \mathrm{sin}xdx \right \}\\
&=[f^{(1)}(x)-f^{(3)}(x)+f^{(5)}(x)+\cdots]\: \mathrm{sin}x\\
&+[-f^{(0)}(x)+f^{(2)}(x)-f^{(4)}(x)+\cdots]\: \mathrm{cos}x\\
&=\sum_{k=0}^{\infty }[(-1)^kf^{(2k+1)}(x)\mathrm{sin}x+(-1)^{k+1}f^{(2k)}(x)\mathrm{cos}x]\\
&=\sum_{k=0}^{\infty }(-1)^k\: [f^{(2k+1)}(x)\mathrm{sin}x-f^{(2k)}(x)\mathrm{cos}x]\end{align*}\]
 和は n 階導関数 $f^n (x)$ が $0$ になるまでとればよいので、$f(x)$ が三角関数のように微分に対して循環しない限りは有限項の級数となります。ですから実用的に考えると、
 
\[\int f(x)\mathrm{sin}xdx=[f^{(1)}(x)-f^{(3)}(x)]\, \mathrm{sin}x+[f^{(2)}(x)-f^{(0)}(x)]\, \mathrm{cos}x \tag{2}\]
ぐらいまでを覚えておけば充分です。

公式 (2) の応用例

 公式 (2) を用いると、$f(x) = x,\:f(x) = x^2$ について直ちに次の公式が得られます。
 
\[\begin{align*}&\int x\mathrm{sin}xdx=-x\mathrm{cos}x-\mathrm{sin}x+C\\
&\int x^2\mathrm{sin}xdx=(2-x^2)\, \mathrm{cos}x+2x\, \mathrm{sin}x+C\end{align*}\]
 

f(x)cosx の積分 Integral of f(x)cosx

 同じようにして、

\[\int f(x)\mathrm{cos}xdx=\sum_{k=0}^{\infty }(-1)^k\: [f^{(2k)}(x)\mathrm{sin}x+f^{(2k+1)}(x)\mathrm{cos}x] \tag{3}\]
という公式も得られます。$f^{(3)} (x)$ までの導関数を使って簡略的に書くと
 
\[\int f(x)\mathrm{cos}xdx=[f^{(0)}(x)-f^{(2)}(x)]\, \mathrm{sin}x+[f^{(1)}(x)-f^{(3)}(x)]\, \mathrm{cos}x \tag{4}\]
となります。

公式 (4) の応用例

 $f(x) = x,\:f(x) = x^2$ とすると
 
\[\begin{align*}&\int x\mathrm{cos}xdx=x\mathrm{sin}x+\mathrm{cos}x+C\\
&\int x^2\mathrm{cos}xdx=(x^2-2)\, \mathrm{sin}x+2x\, \mathrm{cos}x+C\end{align*}\]
という公式を得られます。

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