xsinxの積分・xcosxの積分

xsinxの積分・xcosxの積分

 $x\sin x$ と $x\cos x$ の積分公式です。
 導出することは難しくありませんが、できれば覚えてしまって、少しでも時間を節約したいところです:
 
\[\begin{align*}&\int{x\sin{x}}dx=\sin{x}-x\cos{x}+C\tag{1}\\&\int{x\cos{x}}dx=\cos{x}+x\sin{x}+C\tag{2}\end{align*}\]
 
【公式(1)の証明】
 $x \sin x$ の積分は部分積分によっても求められますが、$x\cos x$ を微分するほうがより簡単です:
 
\[(x\cos{x})’ = \cos{x}-x\sin{x} = (\sin{x})’ – x\sin{x}\]
 右辺に $x\sin{x}$ が現れています。この式を整理すると
 
\[x\sin{x} = (\sin{x})’ – (x\cos{x})’\]
 両辺を積分すると、
 
\[\int{x\sin{x}}dx=\sin{x}-x\cos{x}+C\]
【公式(2)の証明】
 同様に $x\sin{x}$ を微分すると、
 
\[x\sin{x}’ = \sin{x} + x\cos{x} = (-\cos{x})’ + x\cos{x}\]
となるので、式を整理すると、
 
\[x\cos{x} = (\cos{x})’ + (x\sin{x})’\]
 両辺を積分すると、$x\cos{x}$ の積分を得ます:
 
\[\int{x\cos{x}}dx=\cos{x}+x\sin{x}+C\]
 三角関数の変数が $mx$ になっているときは $t = mx$ と変換します:
 
\[\begin{align*}\int x\sin{mx}dx&=\frac{1}{m^{2}}\int t\sin{t}\: dt\\&=\frac{1}{m^{2}}(\mathrm{sin}t-t\mathrm{cos}t)+C\\&=\frac{1}{m^{2}}\: \mathrm{sin}mx-\frac{x}{m}\mathrm{cos}mx+C\end{align*}\]
\[\begin{align*}\int x\mathrm{cos}mxdx&=\frac{1}{m^{2}}\int t\mathrm{cos}t\: dt\\&=\frac{1}{m^{2}}(\mathrm{cos}t+t\mathrm{sin}t)+C\\&=\frac{1}{m^{2}}\: \mathrm{cos}mx+\frac{x}{m}\mathrm{sin}mx+C\end{align*}\]
 余力があれば、この $m$ を含んだ公式を覚えてしまいましょう。
 Excel で描いた $f(x)=x\sin x$ のグラフを載せておきます。

 (≫ グラフデータの入った Workbook をダウンロード)

xsinxの積分

 奇関数×奇関数なので、$x\sin x$ は偶関数です。
 $x\sin x$ は定積分に特徴があります。公式 (1) より、
 
\[\int_{0}^{\pi}x\sin xdx=\left[\sin x-x\cos x\right]^{\pi}_0=\pi\]
を得ます。これは曲線 $y=x\sin x$ と線分 $[0,\ \pi]$ で囲まれる領域の面積が円周率 $\pi$ (すなわち半径 $1$ の円の面積) に等しいことを意味します。

 下の図は Excel で描いた $f(x)=x\cos x$ のグラフです:

xcosxの積分

 奇関数×偶関数なので、$x\cos x$ は奇関数です。

x^2sinxの積分・x^2cosxの積分

 公式 (2) を使って、$x^2\sin{x}$ の積分を求めることができます。$x^2\cos{x}$ を微分すると
 
\[(x^2\cos{x})^{\prime}=2x\cos{x}-x^2\sin{x}\]
となって、右辺に $x^2\sin{x}$ の項が現れます。移項して整理すると
 
\[x^2\sin{x}=2\cos{x}dx-(x^2\cos{x})^{\prime}\]
 両辺を積分すると
 
\[\int{x^2\sin{x}}dx=\int{2\cos{x}}dx-x^2\cos{x}\]
 ここで公式 (2) を使って右辺第 1 項の積分を実行すると、
 
\[\int{x^2\sin{x}}dx=2(x\sin{x}+\cos{x})-x^2\cos{x}+C\]
を得ます。整理すると
 
\[\int{x^2\sin{x}}dx=(2-x^2)\cos{x}+2x\sin{x}+C\]
となります。同様に $x^2\sin{x}$ を微分して公式 (1) を使うと、
 
\[\int{x^2\cos{x}}dx=(x^2-2)\sin{x}+2x\cos{x}+C\]
が得られます。

f(x)sinxの積分・f(x)cosxの積分

 次の公式は無理に覚える必要はありませんが、どこかに控えておくと、証明に役立つことがあります。$f^{n}(x)$ は $n$ 階導関数を表す記号です。
 
\[\int f(x)\mathrm{sin}xdx=\sum_{k=0}^{\infty }(-1)^k\: [f^{(2k+1)}(x)\mathrm{sin}x-f^{(2k)}(x)\mathrm{cos}x] \tag{3}\]
 積分定数 $C$ は省略してあります。

【公式(3)の証明】単純に部分積分を実行します。
 
\[\begin{align*}I(x)=\int f(x)\mathrm{sin}xdx&=-f(x)\mathrm{cos}x+\int f^{(1)}(x) \mathrm{cos}xdx\\&=-f(x)\mathrm{cos}x+f^{(1)}(x) \mathrm{sin}x-\int f^{(2)}(x) \mathrm{sin}xdx\end{align*}\]
 最後の積分は $I(x)$ の $f(x)$ のところを $f”(x)$ に置き換えただけなので、あとは繰り返しになります。
 
\[\begin{align*}I(x)=&-f(x)\mathrm{cos}x+f^{(1)}(x)sinx\\&-\left \{ -f^{(2)}(x) \mathrm{cos}x+f^{(3)}(x) \mathrm{sin}x-\int f^{(4)}(x) \mathrm{sin}xdx \right \}\\&=[f^{(1)}(x)-f^{(3)}(x)+f^{(5)}(x)+\cdots]\: \mathrm{sin}x\\&+[-f^{(0)}(x)+f^{(2)}(x)-f^{(4)}(x)+\cdots]\: \mathrm{cos}x\\&=\sum_{k=0}^{\infty }[(-1)^kf^{(2k+1)}(x)\mathrm{sin}x+(-1)^{k+1}f^{(2k)}(x)\mathrm{cos}x]\\&=\sum_{k=0}^{\infty }(-1)^k\: [f^{(2k+1)}(x)\mathrm{sin}x-f^{(2k)}(x)\mathrm{cos}x]\end{align*}\]
 和は $n$ 階導関数 $f^n (x)$ が $0$ になるまでとればよいので、$f(x)$ が三角関数のように微分に対して循環しない限りは有限項の級数となります。ですから実用的に考えると、
 
\[\int f(x)\mathrm{sin}xdx=[f^{(1)}(x)-f^{(3)}(x)]\, \mathrm{sin}x+[f^{(2)}(x)-f^{(0)}(x)]\, \mathrm{cos}x \tag{4}\]
ぐらいまでを覚えておけば充分です。公式 (4) を用いると、$f(x) = x,\:f(x) = x^2$ について直ちに次の公式が得られます。
 
\[\begin{align*}&\int x\mathrm{sin}xdx=-x\mathrm{cos}x-\mathrm{sin}x+C\\&\int x^2\mathrm{sin}xdx=(2-x^2)\, \mathrm{cos}x+2x\, \mathrm{sin}x+C\end{align*}\] 
 同じようにして、

\[\int f(x)\mathrm{cos}xdx=\sum_{k=0}^{\infty }(-1)^k\: [f^{(2k)}(x)\mathrm{sin}x+f^{(2k+1)}(x)\mathrm{cos}x]\tag{5}\]
という公式も得られます。$f^{(3)} (x)$ までの導関数を使って簡略的に書くと
 
\[\int f(x)\mathrm{cos}xdx=[f^{(0)}(x)-f^{(2)}(x)]\, \mathrm{sin}x+[f^{(1)}(x)-f^{(3)}(x)]\, \mathrm{cos}x \tag{6}\]
となります。たとえば、$f(x) = x,\:f(x) = x^2$ とすると
 
\[\begin{align*}&\int x\mathrm{cos}xdx=x\mathrm{sin}x+\mathrm{cos}x+C\\&\int x^2\mathrm{cos}xdx=(x^2-2)\, \mathrm{sin}x+2x\, \mathrm{cos}x+C\end{align*}\]
という公式を得られます。

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