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倍角公式と半角公式の証明

三角関数の倍角公式

ある角度 $\theta$ に対する倍角 $2\theta$ は次のように関連付けられます。
 \[\begin{align*}\sin{2\theta}=&2\sin{\theta}\:\cos{\theta}\tag{1}\\[10pt]\cos{2\theta}=&\cos^2\theta-\sin^2\theta\tag{2}\\[10pt]\cos{2\theta}=&1-2\sin^2\theta\tag{3}\\[10pt]\mathrm{cos}2\theta=&2\mathrm{cos}^2\theta-1 \tag{4}\\[10pt]\mathrm{tan}2\theta=&\frac{2\mathrm{tan}\theta}{1-\mathrm{tan}^2\theta} \tag{5}\\[10pt]\mathrm{tan}^2\theta=&\frac{1-\mathrm{cos}2\theta}{1+\mathrm{cos}2\theta} \tag{6}\end{align*}\]

倍角公式の証明① 加法定理

倍角公式加法定理
 \[\mathrm{sin}(x+y)=\mathrm{sin}x\mathrm{cos}y+\mathrm{cos}x\mathrm{sin}y\\\mathrm{cos}(x+y)=\mathrm{cos}x\mathrm{cos}y-\mathrm{sin}x\mathrm{sin}y\]
において $x=y=\theta$ とした特別な場合です。
 \[\begin{align*}\mathrm{sin}2\theta=&2\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta \tag{1}\\[10pt]\mathrm{cos}2\theta=&\mathrm{cos}^2\theta-\mathrm{sin}^2\theta\tag{2}\end{align*}\]
ここで三角関数の基本公式
 \[\mathrm{cos}^2\theta+\mathrm{sin}^2\theta=1\]
を用いると
 \[\begin{align*}\mathrm{cos}2\theta=&1-2\mathrm{sin}^2\theta \tag{3}\\[10pt]\mathrm{cos}2\theta=&2\mathrm{cos}^2\theta-1\tag{4}\end{align*}\]
を得ることができます。また正接 (tangent) の定義に従えば
 \[\mathrm{tan}2\theta=\frac{\mathrm{sin}2\theta}{\mathrm{cos}2\theta}=\frac{2\:\mathrm{sin}\theta\: \mathrm{cos}\theta}{\mathrm{cos}^2\theta-\mathrm{sin}^2\theta}=\frac{2\:\mathrm{tan}\theta}{1-\mathrm{tan}^2\theta}\tag{5}\]
また、(3) と (4) を用いると
 \[\mathrm{tan}^2\theta=\frac{1-\mathrm{cos}2\theta}{1+\mathrm{cos}2\theta} \tag{6}\]
が得られます。

倍角公式の証明② オイラーの公式を用いる方法

オイラーの公式の行列表現(回転行列)
 \[e^{\theta I}=\begin{pmatrix}\mathrm{cos}\theta & -\mathrm{sin}\theta\\\mathrm{sin}\theta & \mathrm{cos}\theta\end{pmatrix}\]
を用いて (1) と (2) を証明することもできます。
 \[\begin{align*}e^{\theta I}e^{\theta I}=&\begin{pmatrix}\mathrm{cos}\theta&-\mathrm{sin}\theta\\\mathrm{sin}\theta&\mathrm{cos}\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathrm{cos}\theta&-\mathrm{sin}\theta\\\mathrm{sin}\theta & \mathrm{cos}\theta\end{pmatrix}\\[10pt]=&\begin{pmatrix}\mathrm{cos}^2\theta-\mathrm{sin}^2\theta & -2 \mathrm{sin}\theta \mathrm{cos}\theta\\2\mathrm{sin}\theta \mathrm{cos}\theta & \mathrm{cos}^2\theta-\mathrm{sin}^2\theta\end{pmatrix}\end{align*}\]
一方で左辺の行列積は
 \[e^{\theta I}e^{\theta I}=e^{2\,\theta I}=\begin{pmatrix}\mathrm{cos}2\theta & -\mathrm{sin}2\theta\\[10pt]\mathrm{sin}2\theta & \mathrm{cos}2\theta\end{pmatrix}\]
と書けるので、
 \[\begin{align*}\mathrm{sin}2\theta=&2\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta \tag{1}\\[10pt]\mathrm{cos}2\theta=&\mathrm{cos}^2\theta-\mathrm{sin}^2\theta\tag{2}\end{align*}\]
となります。

三角関数の半角公式

三角関数の半角公式は以下のようなものが知られています。
 \[\begin{align*}\sin^2\frac{\theta}{2}=&\frac{1-\cos\theta}{2}\tag{7}\\[8pt]\cos^2\frac{\theta}{2}=&\frac{1+\cos\theta}{2}\tag{8}\\[8pt]\tan^2\frac{\theta}{2}=&\frac{1-\cos\theta }{1+\cos\theta}\tag{9}\\[8pt]\sin\theta =&2\sin\frac{\theta }{2}\cos\frac{\theta }{2}\tag{10}\\[8pt]\tan\frac{\theta }{2}=&\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta} \tag{11}\\[8pt]\tan\frac{\theta }{2}=&\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} \tag{12}\\[8pt]\end{align*}\]
【半角公式の証明】半角公式は本質的に倍角公式と同じものです。
 \[\begin{align*}\cos2\theta =&1-2\sin^2\theta\\[8pt]\cos2\theta =&2\cos^2\theta-1\end{align*}\]
において、$\displaystyle\theta\Rightarrow\frac{\theta}{2}$ の変換によって、それぞれ
 \[\begin{align*}\cos\theta=&1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\\[8pt]\cos\theta=&2\cos^2\frac{\theta}{2}-1\end{align*}\]
となるので、これを少し変形して
 \[\begin{align*}\sin^2\frac{\theta}{2}=&\frac{1-\cos\theta}{2}\tag{7}\\[8pt]\cos^2\frac{\theta}{2}=&\frac{1+\cos\theta }{2}\tag{8}\end{align*}\]
が得られます。(7) と (8) から
 \[\tan^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta} \tag{9}\]
となります。

公式 (10) も倍角公式から導きます。
 \[\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\]
において、$\displaystyle\theta\Rightarrow\frac{\theta}{2}$ と変換して
 \[\sin\theta=2\sin\frac{\theta }{2}\cos\frac{\theta}{2}\tan{10}\]
となります。

(11) と (12) は教科書に載っていませんが、知っておくと便利な公式です。むしろ 2 乗の形になっていないので、タンジェントの半角公式としては (9) よりも強力な公式と言えます。右辺を計算すると簡単に証明できます。
 \[\begin{align*}\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}=&\frac{2\sin^2\cfrac{\theta}{2}}{2\sin\cfrac{\theta}{2}\:\cos\cfrac{\theta}{2}}=\tan\frac{\theta}{2}\\[8pt]\frac{\sin\theta }{1+\cos\theta}=&\frac{2\sin\cfrac{\theta}{2}\:\cos\cfrac{\theta}{2}}{2\cos^2\cfrac{\theta}{2}}=\tan\frac{\theta}{2}\end{align*}\]
(11) と (12) は単位円上の座標 $(\cos\theta,\:\sin\theta)$ を半角 $-\theta/2$ だけ回転させる線型変換と考えて証明することもできます。
 \[\begin{align*}\begin{pmatrix}\cos\cfrac{\theta}{2}\: \\[8pt]\sin\cfrac{\theta}{2}\:\end{pmatrix}=&\begin{pmatrix}\cos\cfrac{\theta }{2} & \sin\cfrac{\theta }{2}\:\\-\sin\cfrac{\theta}{2}&\cos\cfrac{\theta}{2}\:\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta\\[8pt]\sin\theta\\\end{pmatrix}\\
=&\begin{pmatrix}\cos\theta\cos\cfrac{\theta }{2}+\sin\theta\sin\cfrac{\theta }{2}\:\\[8pt]\sin\theta\cos\cfrac{\theta }{2}-\cos\theta\sin\cfrac{\theta }{2}\:\end{pmatrix}\end{align*}\]
両辺を $\cos\theta/2$ で割って
 \[\begin{pmatrix}1\\[8pt]\tan\cfrac{\theta}{2}\:\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta+\sin\theta\tan\cfrac{\theta}{2}\: \\[8pt]\sin\theta-\cos\theta\tan\cfrac{\theta}{2}\:\end{pmatrix}\]
よって、
 \[\begin{align*}\tan\frac{\theta }{2}=&\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta} \tag{11}\\[8pt]\tan\frac{\theta}{2}=&\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\tag{12}\\[8pt]\end{align*}\]
となります。

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