倍角公式と半角公式の証明

　[1] 倍角公式　Double-angle formula
　[2] 半角公式　Half-angle formulas

　

倍角公式　Double-angle formula

　ある角度 θ に対する 倍角 2θ は次のように関連付けられます。
　
\[\begin{align*}\mathrm{sin}2\theta=&2\mathrm{sin}\theta\:\mathrm{cos}\theta \tag{1}\\[10pt]
\mathrm{cos}2\theta=&\mathrm{cos}^2\theta-\mathrm{sin}^2\theta \tag{2}\\[10pt]
\mathrm{cos}2\theta=&1-2\mathrm{sin}^2\theta \tag{3}\\[10pt]
\mathrm{cos}2\theta=&2\mathrm{cos}^2\theta-1 \tag{4}\\[10pt]
\mathrm{tan}2\theta=&\frac{2\mathrm{tan}\theta}{1-\mathrm{tan}^2\theta} \tag{5}\\[10pt]
\mathrm{tan}^2\theta=&\frac{1-\mathrm{cos}2\theta}{1+\mathrm{cos}2\theta} \tag{6}\end{align*}\]

証明①　加法定理

　倍角公式 は加法定理
\[\mathrm{sin}(x+y)=\mathrm{sin}x\mathrm{cos}y+\mathrm{cos}x\mathrm{sin}y\\
\mathrm{cos}(x+y)=\mathrm{cos}x\mathrm{cos}y-\mathrm{sin}x\mathrm{sin}y\]
において x = y = θ とした特別な場合です。

\[\begin{align*}\mathrm{sin}2\theta=&2\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta \tag{1}\\[10pt]
\mathrm{cos}2\theta=&\mathrm{cos}^2\theta-\mathrm{sin}^2\theta \tag{2}\end{align*}\]

　ここで三角関数の基本公式
　
\[\mathrm{cos}^2\theta+\mathrm{sin}^2\theta=1\]
を用いると
　
\[\begin{align*}\mathrm{cos}2\theta=&1-2\mathrm{sin}^2\theta \tag{3}\\[10pt]
\mathrm{cos}2\theta=&2\mathrm{cos}^2\theta-1 \tag{4}\end{align*}\]
を得ることができます。また正接 (tangent) の定義に従えば
　
\[\mathrm{tan}2\theta=\frac{\mathrm{sin}2\theta}{\mathrm{cos}2\theta}=\frac{2\:\mathrm{sin}\theta\: \mathrm{cos}\theta}{\mathrm{cos}^2\theta-\mathrm{sin}^2\theta}=\frac{2\:\mathrm{tan}\theta}{1-\mathrm{tan}^2\theta}\tag{5}\]
　また (3) と (4) を用いると
　
\[\mathrm{tan}^2\theta=\frac{1-\mathrm{cos}2\theta}{1+\mathrm{cos}2\theta} \tag{6}\]
が得られます。

証明②　オイラーの公式を用いる方法

オイラーの公式の行列表現（回転行列）
　
\[e^{\theta I}=\begin{pmatrix}
\mathrm{cos}\theta & -\mathrm{sin}\theta\\
\mathrm{sin}\theta & \mathrm{cos}\theta\end{pmatrix}\]
を用いて (1) と (2) を証明することもできます。
　
\[\begin{align*}e^{\theta I}e^{\theta I}=&\begin{pmatrix}
\mathrm{cos}\theta & -\mathrm{sin}\theta\\
\mathrm{sin}\theta & \mathrm{cos}\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\mathrm{cos}\theta & -\mathrm{sin}\theta\\
\mathrm{sin}\theta & \mathrm{cos}\theta\end{pmatrix}\\[10pt]
=&\begin{pmatrix}\mathrm{cos}^2\theta-\mathrm{sin}^2\theta & -2 \mathrm{sin}\theta \mathrm{cos}\theta\\
2 \mathrm{sin}\theta \mathrm{cos}\theta & \mathrm{cos}^2\theta-\mathrm{sin}^2\theta\end{pmatrix}\end{align*}\]

　一方で左辺の行列積は
\[e^{\theta I}e^{\theta I}=e^{2\, \theta I}=\begin{pmatrix}
\mathrm{cos}2\theta & -\mathrm{sin}2\theta\\[10pt]
\mathrm{sin}2\theta & \mathrm{cos}2\theta\end{pmatrix}\]
と書けるので、
　
\[\begin{align*}\mathrm{sin}2\theta=&2\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta \tag{1}\\[10pt]
\mathrm{cos}2\theta=&\mathrm{cos}^2\theta-\mathrm{sin}^2\theta \tag{2}\end{align*}\]
となります。

半角公式　Half-angle formulas

　半角公式 は以下のようなものが知られています。
　
\[\begin{align*}\sin^2\frac{\theta }{2}=&\frac{1-\cos\theta }{2}\tag{7}\\[8pt]
\cos^2\frac{\theta }{2}=&\frac{1+\cos\theta }{2}\tag{8}\\[8pt]
\tan^2\frac{\theta }{2}=&\frac{1-\cos\theta }{1+\cos\theta} \tag{9}\\[8pt]
\sin\theta =&2\sin\frac{\theta }{2}\cos\frac{\theta }{2} \tag{10}\\[8pt]
\tan\frac{\theta }{2}=&\frac{1-\cos\theta }{\sin\theta} \tag{11}\\[8pt]
\tan\frac{\theta }{2}=&\frac{\sin\theta }{ 1+\cos\theta} \tag{12}\\[8pt]\end{align*}\]

(7) – (9) の証明

　半角公式は本質的に倍角公式と同じものです。
　
\[\begin{align*}\cos2\theta =&1-2\sin^2\theta\\[8pt]
\cos2\theta =&2\cos^2\theta-1\end{align*}\]
　において θ ⇒ θ/ 2 の変換によって、それぞれ
　
\[\begin{align*}\cos\theta =&1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\\[8pt]
\cos\theta =&2\cos^2\frac{\theta}{2}-1\end{align*}\]
となるので、これを少し変形して
　
\[\begin{align*}\sin^2\frac{\theta }{2}=&\frac{1-\cos\theta }{2}\tag{7}\\[8pt]
\cos^2\frac{\theta }{2}=&\frac{1+\cos\theta }{2}\tag{8}\\ \end{align*}\]
が得られます。 (7) と (8) から
　
\[\tan^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos\theta }{1+\cos\theta} \tag{9}\]
となります。

(10) の証明

　(10) も倍角公式から導きます。
　
\[\sin2\theta =2\sin\theta\cos\theta\]
において θ ⇒ θ/ 2 の変換として
　
\[\sin\theta =2\sin\frac{\theta }{2}\cos\frac{\theta }{2} \tan{10}\]
となります。

(11) (12) の証明

　(11) と (12) は教科書に載っていませんが、知っておくと便利な公式です。むしろ 2 乗の形になっていないので、タンジェントの半角公式としては (9) よりも強力な公式と言えます。右辺を計算すると簡単に証明できます。
　
\[\begin{align*}\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta }=&\frac{2\sin^2\cfrac{\theta}{2}}{2\sin\cfrac{\theta}{2}\: \cos\cfrac{\theta}{2}}=\tan\frac{\theta }{2}\\[8pt]
\frac{\sin\theta }{1+\cos\theta}=&\frac{2\sin\cfrac{\theta}{2}\: \cos\cfrac{\theta}{2}}{2\cos^2\cfrac{\theta}{2}}=\tan\frac{\theta }{2}\end{align*}\]
　(11) と (12) は単位円上の座標 (cosθ, sinθ) を半角 －θ/2 だけ回転させる線型変換と考えて証明することもできます。
　
\[\begin{align*}\begin{pmatrix}\cos\cfrac{\theta }{2}\: \\[8pt] \sin\cfrac{\theta }{2}\:
\end{pmatrix}=&\begin{pmatrix}
\cos\cfrac{\theta }{2} & \sin\cfrac{\theta }{2}\: \\
-\sin\cfrac{\theta }{2} & \cos\cfrac{\theta }{2}\:
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\cos\theta\\[8pt]\sin\theta\\\end{pmatrix}\\
=&\begin{pmatrix}
\cos\theta\cos\cfrac{\theta }{2}+\sin\theta\sin\cfrac{\theta }{2}\:\\[8pt]
\sin\theta\cos\cfrac{\theta }{2}-\cos\theta\sin\cfrac{\theta }{2}\: \end{pmatrix}\end{align*}\]
　両辺を cos(θ/2)で割って
　
\[\begin{pmatrix}1\\[8pt] \tan\cfrac{\theta }{2}\:
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos\theta+\sin\theta\tan\cfrac{\theta}{2}\: \\[8pt]
\sin\theta-\cos\theta\tan\cfrac{\theta}{2}\: \end{pmatrix}\]
　よって、
　
\[\begin{align*}\tan\frac{\theta }{2}=&\frac{1-\cos\theta }{\sin\theta} \tag{11}\\[8pt]
\tan\frac{\theta }{2}=&\frac{\sin\theta }{ 1+\cos\theta} \tag{12}\\[8pt]\end{align*}\]
となります。　≫ 数学事典