加法定理の証明

加法定理

　加法定理は x + y や x – y を変数とする三角関数を cosx や siny など単独変数の三角関数に分離する公式です。
　
\[\begin{align*}\mathrm{sin}(x+y)=&\mathrm{sin}x\mathrm{cos}y+\mathrm{cos}x\mathrm{sin}y \tag{1}\\[8pt]
\mathrm{sin}(x-y)=&\mathrm{sin}x\mathrm{cos}y-\mathrm{cos}x\mathrm{sin}y \tag{2}\\[8pt]
\mathrm{cos}(x+y)=&\mathrm{cos}x\mathrm{cos}y-\mathrm{sin}x\mathrm{sin}y \tag{3}\\[8pt]
\mathrm{cos}(x-y)=&\mathrm{cos}x\mathrm{cos}y+\mathrm{sin}x\mathrm{sin}y \tag{4}\\[8pt]
\mathrm{tan}(x+y)=&\frac{\mathrm{tan}x+\mathrm{tan}y}{1-\mathrm{tan}x\,\mathrm{tan}y} \tag{5}\end{align*}\]

証明①　オイラーの公式から導きます

　オイラーの公式 \(e^{i\theta}=\mathrm{cos}\theta+i\:\mathrm{sin}\theta\) より
　
\[e^{i(x+y)}=\mathrm{cos}(x+y)+i\:\mathrm{sin}(x+y)\]
となりますが、左辺は
　
\[\begin{align*}e^{ix}e^{iy}=&(\mathrm{cos}x+i\:\mathrm{sin}x)\:(\mathrm{cos}y+i\:\mathrm{sin}y)\\[8pt]
=&\mathrm{cos}x\:\mathrm{cos}y-\mathrm{sin}x\:\mathrm{sin}y+i(\mathrm{sin}x\:\mathrm{cos}y+\mathrm{cos}x\:\mathrm{sin}y)\end{align*}\]　
と書けるので、実数部と虚数部を比較して
　
\[\begin{align*}\mathrm{sin}(x+y)=\mathrm{sin}x\mathrm{cos}y+\mathrm{cos}x\mathrm{sin}y \tag{1}\\[8pt]
\mathrm{cos}(x+y)=\mathrm{cos}x\mathrm{cos}y-\mathrm{sin}x\mathrm{sin}y \tag{3}\end{align*}\]
となります。 y を – y に置き換えると (1) から (2) 、(3) から (4) をそれぞれ得ることができます。
　
\[\begin{align*}\mathrm{sin}(x-y)=\mathrm{sin}x\mathrm{cos}y-\mathrm{cos}x\mathrm{sin}y \tag{2}\\[8pt]
\mathrm{cos}(x-y)=\mathrm{cos}x\mathrm{cos}y+\mathrm{sin}x\mathrm{sin}y \tag{4}\end{align*}\]
　
　正弦と余弦の加法定理を用いて
　
\[\mathrm{tan}(x+y)=\frac{\mathrm{sin}(x+y)}{\mathrm{cos}(x+y)}=\frac{\mathrm{sin}x\: \mathrm{cos}y+\mathrm{sin}x\: \mathrm{sin}y}{\mathrm{cos}x\: \mathrm{cos}y-\mathrm{sin}x\: \mathrm{sin}y}\]
となるので、分子と分母を cosx cosy で割ると正接の加法定理
　
\[\mathrm{tan}(x+y)=\frac{\mathrm{tan}x+\mathrm{tan}y}{1-\mathrm{tan}x\, \mathrm{tan}y}\]
を得ることができます。

証明②　回転行列を用いる方法

　オイラーの公式の行列表現（回転行列）
　
\[e^{\theta I}=\begin{pmatrix}
\mathrm{cos}\theta & -\mathrm{sin}\theta\\[8pt]
\mathrm{sin}\theta & \mathrm{cos}\theta\end{pmatrix}\]
を用いても簡単に証明されます。
　
\[\begin{align*}e^{xI}e^{yI}=&\begin{pmatrix}
\mathrm{cos}x & -\mathrm{sin}x\\ \mathrm{sin}x & \mathrm{cos}x\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathrm{cos}y & -\mathrm{sin}y\\ \mathrm{sin}y & \mathrm{cos}y\end{pmatrix}\\[8pt]
=&\begin{pmatrix}
\mathrm{cos}x\, \mathrm{cos}y-\mathrm{sin}x\: \mathrm{sin}y & -\mathrm{cos}x\, \mathrm{sin}y-\mathrm{sin}x\: \mathrm{cos}y\\\mathrm{sin}x\, \mathrm{cos}y+\mathrm{cos}x\: \mathrm{sin}y&-\mathrm{sin}x\, \mathrm{sin}y+\mathrm{cos}x\: \mathrm{cos}y
\end{pmatrix}\end{align*}\]
　一方で左辺の行列積は
　
\[e^{xI}e^{yI}=e^{(x+y)I}\begin{pmatrix}
\mathrm{cos}(x+y) & -\mathrm{sin}(x+y)\\ \mathrm{sin}(x+y) & \mathrm{cos}(x+y)\end{pmatrix}\]
と書けるので、
　
\[\begin{align*}\mathrm{sin}(x+y)=\mathrm{sin}x\mathrm{cos}y+\mathrm{cos}x\mathrm{sin}y \tag{1}\\[8pt]
\mathrm{cos}(x+y)=\mathrm{cos}x\mathrm{cos}y-\mathrm{sin}x\mathrm{sin}y \tag{3}\end{align*}\]
となります。

加法定理の応用例

　加法定理は sin75 ° や tan15 ° のように、そのままでは計算できない三角関数の値を得るために利用できます。
　
\[\begin{align*}
\mathrm{sin}75^{\circ}=&\mathrm{sin}(45^{\circ}+30^{\circ})=\mathrm{sin}45^{\circ}\mathrm{cos}30^{\circ}+\mathrm{cos}45^{\circ}\mathrm{sin}30^{\circ}\\[8pt]
=&\frac{\sqrt{2}}{2}\: \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\: \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{align*}\]

\[\mathrm{tan}75^{\circ}=\frac{\mathrm{tan}45^{\circ}-\mathrm{tan}30^{\circ}}{1+\mathrm{tan}45^{\circ}\: \mathrm{tan}30^{\circ}}=\frac{1-1/\sqrt{3}}{1+1/\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\]