二次方程式の解の公式と判別式

解の公式

　実数係数の２次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解は
　
\[x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \tag{1}\]
です。ここに D は
　
\[D=b^2-4ac \tag{2}\]
で表され、解の個数は D の符号によって

　　D > 0　　⇔　　異なる実数解をもつ
　　D = 0　　⇔　　重複解（重解）をもつ
　　D < 0　　⇔　　異なる虚数解をもつ

という関係にあります。D を判別式 (Discriminant) とよびます。

【解の公式の証明】　方程式の左辺を平方完成します。
　
\[\begin{align*}ax^2+bx+c=&a\left ( x^2+\frac{b}{a}\:x+c \right )\\[6pt]=&a\left ( x+\frac{b}{a} \right )^2+c-\frac{b^2}{4a}\\[6pt]=&a\left ( x+\frac{b}{a} \right )^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\\[6pt]=&a\left \{ \left ( x+\frac{b}{a} \right )^2-\left ( \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right )^2 \right \}\\[6pt]=&\left ( x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right )\left ( x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right )\end{align*}\]
　よって \(ax^2+bx+c=0\) の解は
　
\[x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
となります。たとえば、\(x^2-x-1=0\) の判別式は
　
\[D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1)=5 \gt 0\]
なので異なる２つの実数解をもち、その解は
　
\[x==\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\]
となります。方程式\(3x^2+5x+3=0\) の判別式は
　
\[D= 25-36=-11 \lt 0\]
なので２つの虚数解をもち、その解は
　
\[x=\frac{-5\pm \sqrt{11}\:i}{6}\]
　
　解の公式で b → 2b’ というように変換すると次の公式が導かれます。