二次方程式の解の公式と判別式

解の公式

 実数係数の2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解は
 
\[x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \tag{1}\]
です。ここに D は
 
\[D=b^2-4ac \tag{2}\]
で表され、解の個数は D の符号によって

  D > 0  ⇔  異なる実数解をもつ
  D = 0  ⇔  重複解(重解)をもつ
  D < 0  ⇔  異なる虚数解をもつ

という関係にあります。D を判別式 (Discriminant) とよびます。

【解の公式の証明】 方程式の左辺を平方完成します。
 
\[\begin{align*}ax^2+bx+c=&a\left ( x^2+\frac{b}{a}\:x+c \right )\\[6pt]=&a\left ( x+\frac{b}{a} \right )^2+c-\frac{b^2}{4a}\\[6pt]=&a\left ( x+\frac{b}{a} \right )^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\\[6pt]=&a\left \{ \left ( x+\frac{b}{a} \right )^2-\left ( \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right )^2 \right \}\\[6pt]=&\left ( x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right )\left ( x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right )\end{align*}\]
 よって \(ax^2+bx+c=0\) の解は
 
\[x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
となります。たとえば、\(x^2-x-1=0\) の判別式は
 
\[D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1)=5 \gt 0\]
なので異なる2つの実数解をもち、その解は
 
\[x==\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\]
となります。方程式\(3x^2+5x+3=0\) の判別式は
 
\[D= 25-36=-11 \lt 0\]
なので2つの虚数解をもち、その解は
 
\[x=\frac{-5\pm \sqrt{11}\:i}{6}\]
 
 解の公式で b → 2b’ というように変換すると次の公式が導かれます。

 実数係数の2次方程式 \(ax^2+2b’x+c=0\) の解は
\[x=\frac{-b’ \pm \sqrt{b’^2-ac}}{a}=\frac{-b’ \pm \sqrt{D/4}}{a}\]となります。

 たとえば、\(x^2-4x+2=0\) の解は
 
\[x=2\pm \sqrt{4-2}=2\pm \sqrt{2}\]
となります。

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