x/sinx の極限値

x/sinx の極限値

 三角関数の極限値については次のような公式が知られています。
 
\[\begin{align*}&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{sin}x}{x}=1 \tag{1}\\[6pt]
&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{tan}x}{x}=1\tag{2}\\[6pt]
&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\mathrm{cos}x}{x^2}=\frac{1}{2} \tag{3}\\[6pt]
&\lim_{x\rightarrow 0}x\: \mathrm{sin}\frac{1}{x}=0 \tag{4}\\[6pt]
&\lim_{x\rightarrow \infty }x\: \mathrm{sin}\frac{1}{x}=1 \tag{5}\end{align*}\]
 特に (1) は $\sin x$ の導関数を求めるために必要な最重要公式ですので、必ず憶えておくようにしてください。 (2) から (5) はすべて (1) から導くことができます。

証明

 (1) $f(x)=\sin x/x$ とおくと、$f(-x) = f(x)$、すなわち $f(x)$ は偶関数ですから、$x$ が正の場合について証明すればよいことになります。最終的には $x$ → $0$ の極限を考えるので、 $0\lt x\lt \pi/2$ となります。

 三角関数の極限値

 図のように単位円と 2 つの三角形を描きます。

△ OAB < 扇形 OAB < △ OAC

という大小関係があります。ここで角度 $\theta$、半径 $r$ の扇形の面積は
 
\[\frac{1}{2}r^2\theta\]ですから、
 
\[\frac{1}{2}\mathrm{sin}x< \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\mathrm{tan}x\]
が成り立ちます。 $1/2$ を払って $\sin x$ で割ると
 
\[1< \frac{x}{\mathrm{sin}x} < \frac{1}{\mathrm{cos}x}\]
 逆数をとると不等号の向きが変わります。
 
\[1< \frac{\mathrm{sin}x}{x}< \mathrm{cos}x\]
 $x$ → $+0$ のとき $\cos x$ → $1$ ですから
 
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{sin}x}{x}=1\]
となります。

(2) の証明
 
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{tan}x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\mathrm{cos}x}\frac{\mathrm{sin}x}{x}=1\]
 
(3) の証明
 
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\mathrm{cos}x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\mathrm{cos}^2x}{x^2(1+\mathrm{cos}x)}=\frac{1}{2}\]
 
(4) の証明
 
\[0\leq \left | \mathrm{sin}\: \frac{1}{x} \right |\leq 1\\
0\leq \left | x\: \mathrm{sin}\: \frac{1}{x} \right |\leq |x|\\
\therefore \lim_{x\rightarrow 0}x\: \mathrm{sin}\: \frac{1}{x}=0\]
 
(5) $1/x = t$ とおくと、$x$ → $\infty$ のとき $t$ → $0$ となるので
 
\[\lim_{x\rightarrow \infty }x\: \mathrm{sin}\: \frac{1}{x}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\mathrm{sin}t}{t}=1\]
 

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