【Excel】歪んで左右非対称な関数の概形

左右非対称な関数のグラフ

次のような関数を定義します。
 
\[f(x)=\frac{1-\sin x}{1+\sin x}\tag{1}\]
ただし $-\pi/2 \lt x \lt 3\pi/2$ を定義域としておきます。
さっそくグラフを描いてみます：
 

$x=\pi/2$ で最小値をとっていますね。
念のために、$f(x)$ を微分して確認してみます。
商の微分公式 $(g/f)’=(g’f-gf’)/f^2]$ を用いて計算すると、
 \[f'(x)=\frac{-2\cos x}{(1+\sin x)^{2}}\]　
が得られます。f$'(x)=0$ となるのは $x=\pi/2$ です。定義域の端で
 \[\begin{align*}\lim_{x\rightarrow -\pi/2}f(x)=+\infty\\[6pt]\lim_{x\rightarrow 3\pi/2}f(x)=+\infty\end{align*}\]
なので、$f(\pi/2)$ は最小値であることがわかります。

分子の $\sin{x}$ を $\cos{x}$ に変えてみます。
 \[g(x)=\frac{1-\cos x}{1+\sin x}\tag{2}\]
 　

 
$y=f(x)$ が歪んだような左右非対称な関数です。
最小値は先程と同じように求められます。
 \[g'(x)=\frac{\sqrt{2}\: \sin(\theta +\pi/4)+1}{(1+\sin x)^{2}}\]
$g'(x)=0$ となるのは、$x=2n\pi$。
定義域の範囲で考えると $x=0$ です。
定義域の端で $g(x)\rightarrow +\infty$ となるのは f(x) のときと同じです。

$y=f(x)$ や $y=g(x)$ の正確な概形を描くのは、手計算ではちょっと難しいと思います。$y=f(x)$ の底にべったりとくっついた形に気づくのは難しく、もう少し上ずった二次関数のような概形を描いてしまう可能性が高いです。$y=g(x)$ の場合は $x=\pi$ の付近で折れ曲がっている所が難しいですね。極値でもないし変曲点でもありませんから。いずれも入試などでは出題しにくいタイプの関数です。

漸近線によって区切られた関数

 
基本的な情報を確認しておきましょう。
$x\rightarrow\pm\pi/2$ で $\cos{x}\rightarrow 0,\:f(x)\rightarrow -\infty$ となるので、漸近線
 \[x=\pi/2+n\pi\quad (n=0,\:\pm 1\pm 2)\]
によって区切られた周期関数であることがわかります。とりあえず $-\pi/2\lt x\lt \pi/2$ の範囲で考えてみます。
 \[f'(x)=-\frac{2\sin x}{\cos x}\]
となるので、 $f'(x)=0$ とおいて、$x=0$ で極値をとります。$x\lt 0$ で $f'(x)\gt 0$、$x\gt 0$ で $f'(x)\lt 0$ なので、$f(0)$ は最大値となっています。$\log$ の中を $1+\cos^2{x}$ にすると不連続点は取り除かれます。
 

 
$f(x)$ を微分すると
 \[f'(x)=-\frac{\sin 2x}{1+\cos^{2}x}\]
となるので、$x=n\pi/2$ で極値をとります。ただし、$n=2k$ で最大値 $f(k\pi)=\log{2}$、$n=2k+1$ で最小値 $f(k\pi+\pi/2)=0$ をとる周期関数です。

【AI小説】Excelを使って左右非対称な関数を探そう！

【AI連載小説】数学のリズム、エクセルの旋律(17)
 
五百城真琴とExcel VBAサークルの仲間たちは、新たな数学の冒険に挑むべく、部室で興奮冷めやらぬ様子で座り込んでいた。彼らは、左右非対称な関数のグラフを追求することに決めていた。

「みんな、今日は新たな挑戦だよ！左右非対称な関数を見つけて、面白いグラフを描いてみんなで楽しもう！」真琴が熱い眼差しで仲間たちに呼びかけた。
 
村雨研伸が質問する。「左右非対称な関数って、どんなのがあるんだろう？」
 
真琴はワクワクと笑みを浮かべながら答えた。「それが面白いんだ！自由な発想で数式を組み合わせて、左右で対称じゃない関数を作り出すんだ。例えば、指数関数や対数関数、三角関数を組み合わせると、不思議な形が生まれることがあるんだ」

雨宮隆治が興味津々に手を挙げる。「具体的な例を見てみたいな」
 
真琴はExcelを開きながらデモを始めた。「例えば、こんな感じの式を考えてみよう」
\[f(x) = e^{-x} \cdot \sin(x) + \sqrt{x}\]「これは指数関数、三角関数、平方根が組み合わさったものだ。どんなグラフが描かれるかな？」
 
二階堂月子が興味津々に言った。「それでは、計算してみましょうか」
 
真琴は式をExcelに入力し、グラフを生成した瞬間、サークルメンバーは目を見開いていた。「これはすごい！左右非対称な波が描かれているね。」
 
研伸が感嘆の声を上げた。「これでまた新しい発見ができたな。他にも色々な組み合わせを試してみよう」

真琴とExcel VBAサークルの仲間たちは、新たな数学の冒険に興じる中、左右非対称な関数を求める試行錯誤を重ねていた。
 
月子が提案する。「もっと不規則な形の関数も見てみたいね。どんな数式が面白いグラフを描くのか、予測がつかないところが楽しいと思うんだ。」
 
真琴はうなずきながら次の数式を考えつくす。「じゃあ、こんなのはどうだろう。」
\[f(x) = e^{-x} \cdot \cos(x) + \frac{1}{1 + e^{-x}}\]研伸が手際よくExcelに入力し、グラフを生成した。部室には微妙な緊張感が漂い、仲間たちは次第に描かれるグラフに引き込まれていった。
 
すると、Excelの画面には不規則で波打つようなグラフが浮かび上がった。「これはすごい！波の高低が左右で対称じゃないから、見ていて飽きないね。」研伸が感心する。
 
隆治も興奮冷めやらぬ様子で言った。「まさか、指数関数と逆数を組み合わせるとこんなにも複雑な形ができるなんて」
 
真琴は満足げな笑みを浮かべながら、「数学は無限の可能性があるんだ。他にもたくさんの組み合わせが待っているはずだ」