無限数列について収束を判定するために、隣り合った項比を利用することがあります。
\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |<1\; \; \Rightarrow \; \; \lim_{n\rightarrow \infty }a_n=0\]
この定理を証明してみましょう。
n → ∞ で項比の絶対値が 1 より小さな値に収束するとします。
\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |=c< r< 1\]
すると、ある数より大きい全ての N について
\[\left | \frac{a_{N+1}}{a_N} \right |< r\]
が成立するはずです（有限の N を考えているので、最終的な収束値 c よりは大きな値かもしれませんが、少なくとも 1 よりは小さい値 r をとるということです）。これは番号 N を上げても当然成り立ちます。
\[\left | \frac{a_{N+2}}{a_{N+1}} \right | < r,\; \; \; \left | \frac{a_{N+3}}{a_{N+2}} \right | < r,\; \; \; \left | \frac{a_{N+3}}{a_{N+2}} \right | < r,\; \; \;\cdots \cdots \left | \frac{a_{N+k}}{a_{N+k-1}} \right | < r\]
これを全部掛け合わせてしまうと
\[\left | \frac{a_{N+1}}{a_{N}} \right |\left | \frac{a_{N+2}}{a_{N+1}} \right |\left | \frac{a_{N+3}}{a_{N+2}} \right |\cdots \cdots \left | \frac{a_{N+k}}{a_{N+k-1}} \right |< r^k\]
隣り合った分数同士の分母と分子がキャンセルしあって
\[\left | \frac{a_{N+k}}{a_{N}} \right |< r^k\]
という式が得られます。つまり
\[\begin{align*}&\left | a_{N+k} \right |< \left | a_{N} \right |r^k\\[8pt]
&\lim_{n\rightarrow \infty }\left | a_{N+k} \right |< \lim_{n\rightarrow \infty }\left | a_{N} \right |r^k\end{align*}\]
0 ＜ r ＜ 1 ですから右辺の極限は 0 となります。よって、
\[\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0\]
となって
\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |< 1\; \; \Rightarrow \; \; \lim_{n\rightarrow \infty }a_n=0\]
であることが証明されました。
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