分母の規則性を見つけて上手に分数を足し算します

【算数問題10】分数の足し算

次の足し算を計算してください。
 $$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}$$
【ヒント】分数の足し算とはいえ結構大変です。まともに通分して計算しようとしても、イライラして「きいっ」とペンを投げ捨ててしまうことになります。根性のある人は計算できるかもしれませんが、できれば「もっと何か上手い方法はないかな」と考えてみましょう。高校数学の数列という分野でよく使われるテクニックです。

【解答】分母の規則性に目をつけます。たとえば最初の数は
 $$\frac{1}{6}=\frac{1}{2\times 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$
のように分解できます。「？？？」と思った場合は右の式を計算して確認してみましょう。
 $$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{6}$$
というように、分子が 1 で分母が 1 つ違いの分数同士を引き算すると、通分した時にかならず分子の差が 1 となりますね。他の数も同様に
 $$\begin{array}{r}\frac{1}{12}=\frac{1}{3\times 4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\\ \frac{1}{20}=\frac{1}{4\times 5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\\ \frac{1}{30}=\frac{1}{5\times 6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\\ \frac{1}{42}=\frac{1}{6\times 7}=\frac{1}{6}-\frac{1}{7}\end{array}$$
と分解できます。これらを全て足し合わせると
 $$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$$
となります。よく見ると最初の数と最後の数以外は隣り合った数同士で消えてしまいますね。なので答えは
 $$\frac{1}{2}-\frac{1}{7}=\frac{5}{14}$$
となります。こうした方法を難しい言葉で部分分数分解といいます。