定数変化法と代入法

定数変化法と代入法

次のようなタイプの微分方程式
 $$\begin{array}{}\text{(A)}& \frac{dy}{dx}+p(x)y+q(x)=0\end{array}$$
を一階線形常微分方程式といいます。この方程式を解くためには、まず $q(x)=0$ とおいた斉次方程式（homogeneous equation）の解（斉次解）を求める必要があります。

斉次方程式の解（斉次解）

$q(x)=0$ とおいて、（一般解との混同を避けるために）$y$ の代わりに $z$ を用いると (A) は
 $$\begin{array}{}\text{(A1)}& \frac{dz}{dx}+p(x)y=0\end{array}$$
となります。これは変数分離できて
 $$\frac{dz}{z}=-p(x)dx$$
両辺を積分して $\pm e^c=A$ とおくと
 $$z=A\exp (-\int p(x)dx)$$
という解が得られます。

定数変化法

(A) において、$q(x)\ne 0$ である場合を非斉次方程式（non-homogeneous equation）とよびます。この方程式は次のような手順で解きます。非斉次方程式
 $$\begin{array}{}\text{(A)}& \frac{dy}{dx}+p(x)y+q(x)=0\end{array}$$
の一般解が、斉次解 $z(x)$ の定数 $A$ を $x$ の関数 $a(x)$ で置き換えた
 $$\begin{array}{}\text{(A2)}& y=a(x)z(x),z(x)=\exp (-\int p(x)dx)\end{array}$$
のような形に書けると仮定します。これを定数変化法 (variation of parameters) とよびます。両辺を微分すると
 $$y^{\prime }=a^{\prime }z+a{z}^{\prime }=a^{\prime }z-apz$$
$az=y$ なので
 $$y^{\prime }=a^{\prime }z-py$$
$y^{\prime }+py=-q$ なので
 $$a^{\prime }z=-q$$
すなわち $a(x)$ に関する微分方程式
 $$\frac{da(x)}{dx}=-\frac{q(x)}{z(x)}$$
を得ます。積分すると
 $$a(x)=-\int \frac{q(x)}{z(x)}dx$$
積分定数を分離して
 $$a(x)=-{\int }^x\frac{q(x)}{z(x)}dx+c$$
よって微分方程式 (A) の一般解
 $$\begin{array}{}\text{(A3)}& \begin{array}{rl}y& =a(x)z(x)=cz(x)-z(x){\int }^x\frac{q(x)}{z(x)}dx\\ z(x)& =\exp (-\int p(x)dx)\end{array}\end{array}$$
が得られます。$y$ の第１項は斉次解です。これを余関数 (complementary function) とよぶこともあります。第２項は非斉次方程式の特解 (particular solution) といいます。すなわち１階線形微分方程式の解は「斉次解 + 特解」という形で与えられます。

実際に解く際には (A3) の形を覚えている必要はなく（もちろん覚えていたほうが早いです）、上でやったように
 
① $q(x)=0$ とおいて斉次解 $z$ を求める。
② $y=a(x)z(x)$ とおいて微分して $a(x)$ を求める。
 
という手順を踏みます。それでは実例で試してみましょう。

１階線形微分方程式の解法例

例として次のような１階線形微分方程式
 $$\begin{array}{}\text{(B)}& \frac{dy}{dx}+xy=x^3\end{array}$$
を解いてみます。これは (A) で $p(x)=x,q(x)=x^3$ としたものです。まず $q(x)=0$ として
 $$\frac{dz}{dx}=-xz$$
を解きます。変数分離すると
 $$\int \frac{dz}{z}=-\int xdx$$
両辺を微分して $\pm e^c=A$ とおくと
 $$z=A\exp (-\frac{x^2}{2})$$
という斉次解を得ます。そこで (B) の一般解を
 $$y=a(x)\exp (-\frac{x^2}{2})$$
とおいて微分すると
 $$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =a^{\prime }(x)\exp (-\frac{x^2}{2})-xa(x)\exp (-\frac{x^2}{2})\\ & =a^{\prime }(x)\exp (-\frac{x^2}{2})-xy\end{array}$$
$y^{\prime }+xy=x^3$ なので
 $$a^{\prime }(x)=x^3\exp \left(\frac{x^2}{2}\right)$$
積分すると
 $$a(x)=(x^2-2)\exp \left(\frac{x^2}{2}\right)+C$$
したがって一般解は
 $$y=C\exp \left(\frac{x^2}{2}\right)+x^2-2$$
となります。

解の重ね合わせ

関数 $y_1,y_2$ がそれぞれ
 $$\begin{array}{rl}& y_1^{\prime }+p(x)y_1=r_1(x)\\ & y_2^{\prime }+p(x)y_2=r_2(x)\end{array}$$
と満たしているとします。両辺を加え合せると
 $$y_1^{\prime }+y_2^{\prime }+p(x)(y_1+y_2)=r_1(x)+r_2(x)$$
となるので $y=y_1+y_2$ は微分方程式
 $$y^{\prime }+p(x)y=r_1(x)+r_2(x)$$
の特解となっています。

代入法

特解の形が予想できる場合に限って、代入法で微分方程式を解くこともできます。たとえば次のような微分方程式
 $$\begin{array}{}\text{(C)}& y^{\prime }+y=x+e^x\end{array}$$
を代入法で解いてみます。まず右辺 = 0 とおいて斉次方程式
 $$y^{\prime }+y=0$$
を解くと $y=A{e}^{-x}$ が得られます。解の重ね合わせにより (C) の特解は
 $$\begin{array}{rl}{y}_1^{\prime }+y_1& =x(1)\\ y_2^{\prime }+y_2& =e^x(2)\end{array}$$
という２つの微分方程式の解を足し合わせたものとなります。(1) において、
 $$y_1=ax+b$$
という形の解になっていると予想します（慣れると感覚的にわかるようになりますし、ダメなら別の形でやり直せばいいのです）。実際に方程式に代入してみると
 $$(a-1)x+a+b=0$$
という式が得られるので、係数を比較すると $a=1,b=-1$ となり、方程式 (1) の特解は
 $$y_1=x-1$$
であることがわかります。(2) については
 $$y_2=B{e}^x$$
という形の解を予想して代入してみると
 $$2B{e}^x=e^x$$
となるので $B=1/2$ と定まり、
 $$y_2=\frac{1}{2}{e}^x$$
であることがわかります。よって
 $$\begin{array}{}\text{(C)}& y^{\prime }+y=x+e^x\end{array}$$
の特解は
 $$y=y_1+y_2=\frac{1}{2}{e}^x+x-1$$
であり、これに斉次解 $y=A{e}^{-x}$ を加えると
 $$y=A{e}^{-x}+\frac{1}{2}{e}^x+x-1$$
となります。