グレゴリー級数とマチン級数

グレゴリー級数・マチン級数

逆正接関数（アークタンジェント）の級数展開を求め、円周率の近似値を計算する式（グレゴリー級数とマチン級数）を導きます。

逆正接関数の級数展開

逆正接関数を級数展開するために、まずは $f(x)=1/(1-x)$ を展開します。
マクローリン展開公式
 $$f(x)\simeq f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$$
を用いると、
 $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$$
となります。$x$ を $-x^2$ に置き換えると
 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots \end{array}$$
という展開式が得られます。逆正接関数の導関数は
 $$(\mathrm{Arctan}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$
で与えられるので、逆正接関数を
 $$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathrm{Arctan}x={\int }_0^x\frac{dt}{1+t^2}\end{array}$$
と積分で表すことができます。この式に (1) を代入すると
 $$\begin{array}{rl}\mathrm{Arctan}x& ={\int }_0^x(1-t^2+t^4-t^6+\cdots )\\ \text{(3)}& & =x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots \end{array}$$
が得られます。

グレゴリー級数

$\tan \pi /4=1$ を逆正接関数で表すと
 $$\frac{\pi }{4}=\mathrm{Arctan}1$$
なので、級数 (3) に $x=1$ を代入して
 
$$\begin{array}{}\text{(4)}& \frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots \end{array}$$
という円周率の級数表示が得られます。この級数をグレゴリー級数 (Expansion of Arctangent) とよびます。しかし、この級数の収束はかなり遅く、1200 項まで計算してようやく 3.140759 程度の精度です（真値は3.141593）。

マチン級数

イギリスの天文学者ジョン・マチンはより収束の速い円周率の級数、マチン級数 (Machin’s formula) を発見しました。その導出はかなり技巧的です。まず 2 つの定数 $\alpha$ と $\beta$ を
 $$\tan \alpha =\frac{1}{5},\tan \beta =\frac{1}{239}$$
で定義します。すなわち
 $$\alpha =\mathrm{Arctan}\frac{1}{5},\beta =\mathrm{Arctan}\frac{1}{239}$$
です。倍角公式を用いると
 $$\begin{array}{rl}\tan 2\alpha & =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{5}{12}\\ \tan 4\alpha & =\frac{2\tan 2\alpha }{1-{\tan }^{2}2\alpha }=\frac{120}{119}\end{array}$$
となります。さらに加法定理を使うと
 $$\tan (4\alpha -\beta )=\frac{\tan 4\alpha -\tan \beta }{1+\tan 4\alpha \tan \beta }=1$$
となるのです。$1=\tan (\pi /4)$ なので
 $$\frac{\pi }{4}=4\alpha -\beta$$
が得られます。この関係式を逆正接関数で書き直すと
 $$\begin{array}{}\text{(5)}& \frac{\pi }{4}=4\mathrm{Arctan}\frac{1}{5}-\mathrm{Arctan}\frac{1}{239}\end{array}$$
となります。具体的に計算するときは逆正接関数の級数展開式 (3) を用いて
 $$\begin{array}{}\text{(A)}& \mathrm{Arctan}\frac{1}{5}& =\frac{1}{5}-\frac{1}{3}{\left(\frac{1}{5}\right)}^3+\frac{1}{5}{\left(\frac{1}{5}\right)}^5-\frac{1}{7}{\left(\frac{1}{5}\right)}^7\cdots \text{(B)}& \mathrm{Arctan}\frac{1}{239}& =\frac{1}{239}-\frac{1}{3}{\left(\frac{1}{239}\right)}^3+\frac{1}{5}{\left(\frac{1}{239}\right)}^5-\frac{1}{7}{\left(\frac{1}{239}\right)}^7\cdots \end{array}$$
を適当な項まで計算して (5) に代入します。(B) の各項は非常に小さいので、3 つか 4 つの項で打ち切っても高い精度の値が得られます。試しに (A) を 5 項まで、(B) を 3 項までとって (5) を計算してみると 3.141592682 という値が得られます。真値が 3.141592654 なので、7 桁の精度で一致していることになります。