単調増加と単調減少
関数 $f(x)$ が区間 $[a,\:b]$ で微分可能、$(a,\:b)$ で $f'(x) \gt 0$ であるとします。このとき 平均値の定理 によって
\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\]
となる $c$ が存在しますが、$b=a+\Delta x$ とおくと
\[f(a+\Delta x)=f(a)+f'(c)\Delta x\]
と書き直せます。よって
\[f(a+\Delta x) \gt f(a)\]
が成り立ちます。つまり $f(x)$ は区間 $[a,\:b]$ で単調増加であることがわかります。同じように $f'(x) \lt 0$ であるとき $f(x)$ は単調減少です。$f'(x)=0$ ならば $f(x)$ は 定数です。
極大値と極小値
関数 $f(x)$ が区間 $[a,\:b]$ で連続であるとします。
区間内の点 $c$ において十分に小さな正数 $h$ について
\[f(c-h) \lt f(c),\quad f(c+h) \lt f(c)\]
が成り立つならば $f(x)$ は $x=c$ で極大であるといい、$f(c)$ を極大値とよびます。同じように
\[f(c-h) \gt f(c),\quad f(c+h) \gt f(c)\]
が成り立つとき $f(x)$ は $x=c$ で極小であるといい、$f(c)$ を極小値とよびます。極大値と極小値をまとめて極値とよびます。
極値をとるための必要条件と十分条件
$f(x)$ が区間 $(a,\:b)$ で微分可能であり、区間内の点 $c$ で $f(x)$ が極大となるならば、小さな正数 $h$ に対して
\[\begin{align*}&\frac{f(c-h)-f(c)}{-h} \gt 0\\[6pt]&\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \lt 0\end{align*}\]
が成立します。つまり $h\rightarrow 0$ の極限で $f'(c)=0$ が成り立ちます。同様に $f(x)$ が極小となるときも $f'(c)=0$ です。以上まとめると極値について次の必要条件がいえます。
\[f'(c)=0\]が成り立つ。
これはあくまで必要条件ですから逆は成立しません。たとえば $f(x)=x^3$ を微分すると $f'(x)=3x^2$ です。確かに $x=0$ で導関数は 0 になっていますが、$f'(x)=3x^2 \geq 0$ ですから $f(x)$ は全区間で単調増加関数です。ゆえに $x=0$ で極値となってはいません。
次は極値となるための十分条件を調べます。$f(x)$ が点 $c$ の近くで微分可能で $f'(c)=0$ とし、
\[c\lt x\;のとき\;f'(x)\geq 0,\quad c \gt x\;のとき\;f'(x)\leq 0\]
であるなら $f(x)$ は
\[c\lt x\;のとき単調増加,\quad c\gt x\;のとき単調減少\]
であるということです。つまり点 $c$ を境に減少から増加へ転じているので、$f(c)$ は極小値です。同様に
\[c\lt x\;のとき\;f'(x)\leq 0,\quad c \gt x\;のとき\;f'(x)\geq 0\]
であるならば、$f(x)$ は
\[c\lt x\;のとき単調減少,\quad c\gt x\;のとき単調増加\]
となって $f(c)$ は極大値となります。以上まとめると
[1] $f'(x)$ の符号が正から負に変わるなら $f'(c)$ は極大値
[2] $f'(x)$ の符号が負から正に変わるなら $f'(c)$ は極小値
という極値の十分条件が得られます。
極大・極小の判定
上の方法を使っても極値を判定することはできますが、2 階微分を使ってより簡単に判定する方法もあります。
関数 $f(x)$ が点 $c$ の近くで微分可能で $f'(c)=0$ であり、$f^{\prime\prime}(x)$ が $x=c$ を含む区間で連続であるとします。
(A) $f^{\prime\prime}(c) \lt 0$ のとき $f'(x)$ は単調減少します。$f'(c)=0$ なので、
\[x\lt c\;ならば\;f'(c)\gt 0,\quad x\gt c\;ならば\;f'(c)\lt 0\]
となります。よって、この場合 $f'(c)$ は極大値です。
(B) $f^{\prime\prime}(c) \gt 0$ のとき $f'(x)$ は単調増加します。$f'(c)=0$ なので、
\[x\lt c\;ならば\;f'(c)\lt 0,\quad x\gt c\;ならば\;f'(c)\gt 0\]
となります。よって、この場合 $f'(c)$ は極小値です。
より直感的に捉えるなら、上の図に示したように、極大値の近くでは接線の傾きが減少し、極小値の近くでは接線の傾きが増加します。以上まとめると
\[\begin{align*}f^{\prime\prime}(c)\lt 0\;ならば\;f(x)\;は\;x=c\;で極大値をもつ。\\[6pt]f^{\prime\prime}(c)\gt 0\;ならば\;f(x)\;は\;x=c\;で極小値をもつ。\end{align*}\]
となります。
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