関数の増減（極大値と極小値の判定法）

単調増加と単調減少

関数 $f(x)$ が区間 $[a,b]$ で微分可能、$(a,b)$ で $f^{\prime }(x)>0$ であるとします。このとき 平均値の定理 によって
 $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$$
となる $c$ が存在しますが、$b=a+\mathrm{\Delta }x$ とおくと
 $$f(a+\mathrm{\Delta }x)=f(a)+f^{\prime }(c)\mathrm{\Delta }x$$
と書き直せます。よって
 $$f(a+\mathrm{\Delta }x)>f(a)$$
が成り立ちます。つまり $f(x)$ は区間 $[a,b]$ で単調増加であることがわかります。同じように $f^{\prime }(x)<0$ であるとき $f(x)$ は単調減少です。$f^{\prime }(x)=0$ ならば $f(x)$ は 定数です。

極大値と極小値

関数 $f(x)$ が区間 $[a,b]$ で連続であるとします。
 

区間内の点 $c$ において十分に小さな正数 $h$ について
 $$f(c-h)<f(c),f(c+h)<f(c)$$
が成り立つならば $f(x)$ は $x=c$ で極大であるといい、$f(c)$ を極大値とよびます。同じように
 $$f(c-h)>f(c),f(c+h)>f(c)$$
が成り立つとき $f(x)$ は $x=c$ で極小であるといい、$f(c)$ を極小値とよびます。極大値と極小値をまとめて極値とよびます。

極値をとるための必要条件と十分条件

$f(x)$ が区間 $(a,b)$ で微分可能であり、区間内の点 $c$ で $f(x)$ が極大となるならば、小さな正数 $h$ に対して
 $$\begin{array}{rl}& \frac{f(c-h)-f(c)}{-h}>0\\ & \frac{f(c+h)-f(c)}{h}<0\end{array}$$
が成立します。つまり $h\to 0$ の極限で $f^{\prime }(c)=0$ が成り立ちます。同様に $f(x)$ が極小となるときも $f^{\prime }(c)=0$ です。以上まとめると極値について次の必要条件がいえます。

これはあくまで必要条件ですから逆は成立しません。たとえば $f(x)=x^3$ を微分すると $f^{\prime }(x)=3x^2$ です。確かに $x=0$ で導関数は 0 になっていますが、$f^{\prime }(x)=3x^2\ge 0$ ですから $f(x)$ は全区間で単調増加関数です。ゆえに $x=0$ で極値となってはいません。

次は極値となるための十分条件を調べます。$f(x)$ が点 $c$ の近くで微分可能で $f^{\prime }(c)=0$ とし、
 $$c<x\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}{f}^{\prime }(x)\ge 0,c>x\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}{f}^{\prime }(x)\le 0$$
であるなら $f(x)$ は
 $$c<x\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}\mathrm{単}\mathrm{調}\mathrm{増}\mathrm{加},c>x\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}\mathrm{単}\mathrm{調}\mathrm{減}\mathrm{少}$$
であるということです。つまり点 $c$ を境に減少から増加へ転じているので、$f(c)$ は極小値です。同様に
 $$c<x\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}{f}^{\prime }(x)\le 0,c>x\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}{f}^{\prime }(x)\ge 0$$
であるならば、$f(x)$ は
 $$c<x\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}\mathrm{単}\mathrm{調}\mathrm{減}\mathrm{少},c>x\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}\mathrm{単}\mathrm{調}\mathrm{増}\mathrm{加}$$
となって $f(c)$ は極大値となります。以上まとめると

という極値の十分条件が得られます。

極大・極小の判定

上の方法を使っても極値を判定することはできますが、2 階微分を使ってより簡単に判定する方法もあります。
 

関数 $f(x)$ が点 $c$ の近くで微分可能で $f^{\prime }(c)=0$ であり、$f^{\prime \prime }(x)$ が $x=c$ を含む区間で連続であるとします。
 
(A) $f^{\prime \prime }(c)<0$ のとき $f^{\prime }(x)$ は単調減少します。$f^{\prime }(c)=0$ なので、
 $$x<c\mathrm{な}\mathrm{ら}\mathrm{ば}{f}^{\prime }(c)>0,x>c\mathrm{な}\mathrm{ら}\mathrm{ば}{f}^{\prime }(c)<0$$
となります。よって、この場合 $f^{\prime }(c)$ は極大値です。

(B) $f^{\prime \prime }(c)>0$ のとき $f^{\prime }(x)$ は単調増加します。$f^{\prime }(c)=0$ なので、
 $$x<c\mathrm{な}\mathrm{ら}\mathrm{ば}{f}^{\prime }(c)<0,x>c\mathrm{な}\mathrm{ら}\mathrm{ば}{f}^{\prime }(c)>0$$
となります。よって、この場合 $f^{\prime }(c)$ は極小値です。

より直感的に捉えるなら、上の図に示したように、極大値の近くでは接線の傾きが減少し、極小値の近くでは接線の傾きが増加します。以上まとめると

となります。