地球と月、地球と太陽が引き合う力

　”Measure & Measure” ６回目です。
　前回記事では２つの物体の間にはたらく引力が
　
\[F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\:[\mathrm{N}]\]
という式で表され、地球上の物体にはたらく重力は質量を 10 倍すれば概算できることをお話しました。ちなみに東京スカイツリーの質量（地上本体鉄骨重量）は約 40000 トンなので、約 4 × 10⁷ N (4000万ニュートン) の重力がはたらいています。

　この値を頭の片隅に置いて 地球と月が互いに引き合う力 がどれくらいの大きさなのか実感してみましょう。
　

[NASA 提供]

地球と月が引き合う力

　万有引力は物体の質量に比例して大きくなりますが、距離の 2 乗に逆比例しますから、物体同士の距離が離れると、その力はどんどん弱くなっていきます。月は楕円軌道で地球のまわりを周回していますが、その平均距離は
　
\[r_{em}=3.844\times 10^8\:[\mathrm{m}]\]
です。2 乗すると概算で 10¹⁷ のオーダーです。地球と月の質量はそれぞれ
　
\[M_e=5.974\times 10^{24}\:[\mathrm{kg}],\quad M_m=7.374\times 10^{22}\:[\mathrm{kg}]\]
です。両者を掛け合わせると概算で 10⁴⁷ ぐらいです。これに万有引力定数
　
\[G=6.672\times 10^{-11}\:[\mathrm{m^3kg^{-1}s^{-2}}]\]
をかけると、分子はおおよそ 10³⁷ となりますから、分母（距離の 2 乗）よりもずっと大きな桁であることがわかります。概算では 10²⁰ N ほどの力がはたらくことになりますね。きちんと計算すると
　
\[F=1.989\times 10^{20}\:[\mathrm{N}]\]
となります。スカイツリーにはたらく重力 4 × 10⁷ N と比較すると、その力の強さがわかります。

地球と太陽が引き合う力

　今度は地球が太陽から受ける引力を計算してみます。
　地球と太陽の間の平均距離は
　
\[r_{es}=1.496\times 10^{11}\:[\mathrm{m}]\]
　およそ 1 億 5 千万 km です。太陽の質量は
　
\[M_s=1.989\times 10^{30}\:[\mathrm{kg}]\]
であり、地球の質量
　
\[M_e=5.974\times 10^{24}\:[\mathrm{kg}]\]
の約 30 万倍という途方もない質量です。これらの数値と万有引力定数
　
\[G=6.672\times 10^{-11}\:[\mathrm{m^3kg^{-1}s^{-2}}]\]
を使って
　
\[F=G\frac{M_sM_e}{r_{es}^2}\:[\mathrm{N}]\]
によって地球と太陽の間にはたらく引力を計算すると

\[F=3.542\times 10^{22}\:[\mathrm{N}]\]
という値になります。これは月と地球の間にはたらく力より 2 桁も大きな値となっています。