パーセバルの定理とウィーナー・ヒンチンの定理

パーセバルの定理

ある関数 $f(t)$ のフーリエ変換を
 \[F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt\]
とします。このとき $\mid f(t)\mid^2$ の全変域にわたる積分は
 \[\int_{-\infty}^{\infty}\mid f(t)\mid^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mid F(\omega)\mid^2d\omega\tag{A}\]
となります。これをパーセバルの定理とよびます。物理学におけるエネルギー密度に関連するので、レイリーのエネルギー定理とよばれることもあります。

【パーセバルの定理の証明】
２つの関数の積 $f(x)g(x)$ の フーリエ変換 は
 \[\begin{align*}2\pi\mathcal{F}[f(x)g(x)]&=F(\omega)*G(\omega)\\[6pt]&=\int_{-\infty}^{\infty}F(y)G(\omega-y)dy\end{align*}\]
となります（畳み込み積分定理）。ここで共役複素数のフーリエ変換公式
 \[\mathcal{F}[f^*(x)]=F^*(-\omega)\]
を用いると、
 \[2\pi\mathcal{F}[f(t)f^*(t)]=F(\omega)*F^*(-\omega)\]
となります。この変換を丁寧に書き表すと
 \[2\pi\int_{-\infty}^{\infty}\mid f(t)\mid^2e^{-i\omega t}dt=\int_{-\infty}^{\infty}F(y)*F^*(-(\omega-y))dy\]
$\omega=0$ として、$y\rightarrow\omega$ と変数を書き換えると
 \[2\pi\int_{-\infty}^{\infty}\mid f(t)\mid^2dt=\int_{-\infty}^{\infty}\mid F(\omega)\mid^2d\omega\]
となって、公式 (A) が示されました。

公式 (A) では関数 $f(t)$ について自己の平方積分について考えましたが、異なる関数同士 $f(t),\:g(t)$ の内積ついても似たような変換公式を得ることができます。共役複素数のフーリエ変換公式
 \[\mathcal{F}[f^*(x)]=F^*(-\omega)\]
および、畳み込み積分のフーリエ変換公式
 \[2\pi\mathcal{F}[f(x)g(x)]=F(\omega)*G(\omega)\]
から、
 \[2\pi\mathcal{F}[f(t)g^*(t)]=F(\omega)*G^*(-\omega)\]
という変換式を得ます。つまり
 \[2\pi\int_{-\infty}^{\infty}f(t)g^*(t)e^{-i\omega t}dt=\int_{-\infty}^{\infty}F(y)*G^*(y-\omega)dy\]
が成り立っています。$\omega=0$ とおいて、$y\rightarrow\omega$ のように変数を書き換えると
 \[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)g^*(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)*G^*(\omega)d\omega\tag{B}\]
という変換公式が得られます。

ウィーナー・ヒンチンの定理

パーセバルの定理の物理学への応用を見てみましょう。いま、1Ω の抵抗に時間的に変化する電流 $i(t)$ が流れこんだとします（交流であれば $i(t)$ は周期関数）。抵抗の両端における電圧降下は
 \[v(t)=Ri(t)=i(t)\]
となります。このとき抵抗に流れ込んだ全エネルギー（抵抗で失われる全エネルギー）は
 \[E=\int_{-\infty}^{\infty}\mid i(t)\mid^2dt\]
で与えられます。パーセバルの定理によると
 \[\int_{-\infty}^{\infty}\mid i(t)\mid^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mid F(\omega)\mid^2d\omega\]
と表せるので、これは $\mid F(\omega)\mid^2d\omega/2\pi$ が $(\omega,\omega+d\omega)$ にあるエネルギー密度であることがわかります。なのでこの
 \[E(\omega)=\mid F(\omega)\mid^2d\omega\]
のことをエネルギースペクトルとよぶこともあります。

自己相関関数

「エネルギースペクトルをフーリエ逆変換すると時間的にどのような意味をもつのか」ということを調べるために、自己相関関数
 \[R_{ff}(s)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t+s)f^*(t)dt\tag{C}\]
を用意します。これは関数 $f(t)$ が時間軸に対して $s$ だけ平行移動したときに、どの程度重なり合うか（似ているか）という目安になります。つまり波形が重なり合うようなときに $R_{ff}(s)$ は大きくなり、逆にずれが大きいときには $R_{ff}(s)$ は小さくなります。結論から先に言うと、自己相関関数はエネルギースペクトル $E(\omega)$ に分解されます。以下でそれを示してみます。自己相関関数
 \[R_{ff}(s)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t+s)f^*(t)dt\]
をフーリエ変換すると
 \[\begin{align*}\mathcal{F}[R_{ff}(s)]&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t+s)f^*(t)dte^{-i\omega s}ds\\[6pt]&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t+s)f^*(t)e^{-i\omega (t+s)}dtds\end{align*}\]
ここで $t+s=u$ とおいて、先に $t$ を固定すると $ds=du$ となるので、
 \[\begin{align*}\mathcal{F}[R_{ff}(s)]&=\int_{-\infty}^{\infty}f^*(t)e^{-i\omega t}dt\int_{-\infty}^{\infty}f^*(u)e^{-i\omega u}du\\[6pt]&=F^*(\omega)F(\omega)=\mid F(\omega)\mid^2\end{align*}\]
となります。つまり
\[\begin{align*}\mathcal{F}[R_{ff}(s)]=E(\omega)\\[6pt]\mathcal{F}^{-1}[E(\omega)]=R_{ff}(s)\end{align*}\]
となります。自己相関関数 $R_{ff}(s)$ のフーリエ変換がエネルギースペクトル $E(\omega)$ であり、逆にエネルギースペクトル $E(\omega)$ をフーリエ逆変換すれば自己相関関数 $R_{ff}(s)$ が得られるということです。