パーセバルの定理とウィーナー・ヒンチンの定理

パーセバルの定理

ある関数 $f(t)$ のフーリエ変換を
 $$F(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-i\omega t}dt$$
とします。このとき $\mid f(t){\mid }^2$ の全変域にわたる積分は
 $$\begin{array}{}\text{(A)}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mid f(t){\mid }^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mid F(\omega ){\mid }^{2}d\omega \end{array}$$
となります。これをパーセバルの定理とよびます。物理学におけるエネルギー密度に関連するので、レイリーのエネルギー定理とよばれることもあります。

【パーセバルの定理の証明】
２つの関数の積 $f(x)g(x)$ の フーリエ変換 は
 $$\begin{array}{rl}2\pi \mathcal{F}[f(x)g(x)]& =F(\omega )\ast G(\omega )\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(y)G(\omega -y)dy\end{array}$$
となります（畳み込み積分定理）。ここで共役複素数のフーリエ変換公式
 $$\mathcal{F}[f^{\ast }(x)]=F^{\ast }(-\omega )$$
を用いると、
 $$2\pi \mathcal{F}[f(t)f^{\ast }(t)]=F(\omega )\ast F^{\ast }(-\omega )$$
となります。この変換を丁寧に書き表すと
 $$2\pi {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mid f(t){\mid }^2{e}^{-i\omega t}dt={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(y)\ast F^{\ast }(-(\omega -y))dy$$
$\omega =0$ として、$y\to \omega$ と変数を書き換えると
 $$2\pi {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mid f(t){\mid }^{2}dt={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mid F(\omega ){\mid }^{2}d\omega$$
となって、公式 (A) が示されました。

公式 (A) では関数 $f(t)$ について自己の平方積分について考えましたが、異なる関数同士 $f(t),g(t)$ の内積ついても似たような変換公式を得ることができます。共役複素数のフーリエ変換公式
 $$\mathcal{F}[f^{\ast }(x)]=F^{\ast }(-\omega )$$
および、畳み込み積分のフーリエ変換公式
 $$2\pi \mathcal{F}[f(x)g(x)]=F(\omega )\ast G(\omega )$$
から、
 $$2\pi \mathcal{F}[f(t)g^{\ast }(t)]=F(\omega )\ast G^{\ast }(-\omega )$$
という変換式を得ます。つまり
 $$2\pi {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)g^{\ast }(t)e^{-i\omega t}dt={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(y)\ast G^{\ast }(y-\omega )dy$$
が成り立っています。$\omega =0$ とおいて、$y\to \omega$ のように変数を書き換えると
 $$\begin{array}{}\text{(B)}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)g^{\ast }(t)dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(\omega )\ast G^{\ast }(\omega )d\omega \end{array}$$
という変換公式が得られます。

ウィーナー・ヒンチンの定理

パーセバルの定理の物理学への応用を見てみましょう。いま、1Ω の抵抗に時間的に変化する電流 $i(t)$ が流れこんだとします（交流であれば $i(t)$ は周期関数）。抵抗の両端における電圧降下は
 $$v(t)=Ri(t)=i(t)$$
となります。このとき抵抗に流れ込んだ全エネルギー（抵抗で失われる全エネルギー）は
 $$E={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mid i(t){\mid }^{2}dt$$
で与えられます。パーセバルの定理によると
 $${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mid i(t){\mid }^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mid F(\omega ){\mid }^{2}d\omega$$
と表せるので、これは $\mid F(\omega ){\mid }^{2}d\omega /2\pi$ が $(\omega ,\omega +d\omega )$ にあるエネルギー密度であることがわかります。なのでこの
 $$E(\omega )=\mid F(\omega ){\mid }^{2}d\omega$$
のことをエネルギースペクトルとよぶこともあります。

自己相関関数

「エネルギースペクトルをフーリエ逆変換すると時間的にどのような意味をもつのか」ということを調べるために、自己相関関数
 $$\begin{array}{}\text{(C)}& R_{ff}(s)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t+s)f^{\ast }(t)dt\end{array}$$
を用意します。これは関数 $f(t)$ が時間軸に対して $s$ だけ平行移動したときに、どの程度重なり合うか（似ているか）という目安になります。つまり波形が重なり合うようなときに $R_{ff}(s)$ は大きくなり、逆にずれが大きいときには $R_{ff}(s)$ は小さくなります。結論から先に言うと、自己相関関数はエネルギースペクトル $E(\omega )$ に分解されます。以下でそれを示してみます。自己相関関数
 $$R_{ff}(s)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t+s)f^{\ast }(t)dt$$
をフーリエ変換すると
 $$\begin{array}{rl}\mathcal{F}[R_{ff}(s)]& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t+s)f^{\ast }(t)dt{e}^{-i\omega s}ds\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t+s)f^{\ast }(t)e^{-i\omega (t+s)}dtds\end{array}$$
ここで $t+s=u$ とおいて、先に $t$ を固定すると $ds=du$ となるので、
 $$\begin{array}{rl}\mathcal{F}[R_{ff}(s)]& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}^{\ast }(t)e^{-i\omega t}dt{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}^{\ast }(u)e^{-i\omega u}du\\ & =F^{\ast }(\omega )F(\omega )=\mid F(\omega ){\mid }^2\end{array}$$
となります。つまり
$$\begin{array}{r}\mathcal{F}[R_{ff}(s)]=E(\omega )\\ {\mathcal{F}}^{-1}[E(\omega )]=R_{ff}(s)\end{array}$$
となります。自己相関関数 $R_{ff}(s)$ のフーリエ変換がエネルギースペクトル $E(\omega )$ であり、逆にエネルギースペクトル $E(\omega )$ をフーリエ逆変換すれば自己相関関数 $R_{ff}(s)$ が得られるということです。