πが無理数であることの証明

円周率 $\pi$ は $\sin \pi =0,\cos \pi =-1$ を満たすような定数であると定義して、円周率が無理数であることを証明します。

円周率が無理数であることの証明

まず、次のような関数を定義します。
 $$f(x)=\frac{p^n}{n!}{x}^n(\pi -x{)}^n$$
定義から明らかなように、$f(x)$ は
 $$f(x)=f(\pi -x)$$
という周期性があり、$m$ 階導関数について
 $$f^{(m)}(\pi )=(-1{)}^m{f}^{(m)}(0)$$
という関係をみたします。この $f(x)$ に $\sin x$ をかけて $0$ から$\pi$ まで積分した値を I とおきます。
 $$I={\int }_0^{\pi }f(x)\sin xdx$$
この積分値 $I$ について２通りの方法で評価します。

① $0<x<\pi$ より
 $$0<x(\pi -x)<\pi (\pi -x)<{\pi }^2$$
$n$ 乗して $n!$ で割ります。
 $$\begin{array}{rl}& 0<\frac{p^n}{n!}{x}^n(\pi -x{)}^n<\frac{p^n}{n!}{\pi }^{2}n\\ & 0<f(x)<\frac{p^n}{n!}{\pi }^{2}n\end{array}$$
$0<x<\pi$ の範囲では $0<\sin x<1$ なので
 $$0<f(x)\sin x<\frac{p^n}{n!}{\pi }^{2}n$$
$0$ から $\pi$ まで積分すると
 $$0<I<\frac{(p{\pi }^2{)}^n}{n!}\pi$$
ここで
 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\alpha }^n}{n!}=0\end{array}$$
が成り立つので、適当に大きな $n$ をとれば
 $$0<I<1$$
となります。

② 部分積分によって実際に $I$ を計算します。ここで
 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \int f(x)\sin xdx=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k[f^{(2k+1)}(x)\sin x-f^{(2k)}(x)\cos x]\end{array}$$
という積分公式を用いると、
 $$I=2\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{f}^{(2k)}(0)$$
が得られます。ここで二項展開の公式
 $$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k{a}^k{b}^{n-k}$$
を用いて $f(x)$ を展開すると
 $$f(x)=\frac{p^n}{n!}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{}_n{C}_k{\pi }^{n-k}{x}^{n+k}$$
$x^n$ の係数を簡単に $a_N$ で表すと、
 $$f(x)=a_n{x}^n+a_{n+1}{x}^{n+1}+\cdots +a_{n+k}{x}^{n+k}+\cdots$$
となります。これを $n+k$ 回微分すると、$x^{n+k}$ 以降を微分した項だけが残り、また $x^{n+k}$ を微分した項のみ定数となります。よって、$x=0$ を代入すると $x^{n+k}$ を微分した項以外は全て消えます。よって
 $$f^{n+k}(0)=\frac{p^n}{n!}(-1{)}^k{}_n{C}_k(n+k)!{\pi }^{n-k}$$
となります。ここで円周率が自然数 $a,b$ によって
 $$\pi =\frac{b}{a}$$
と書ける（つまり有理数である）と仮定します（背理法）。$f(x)$ の $p$ は任意ですから $p$ を $a$ で置き換えてみると
 $$p^n{\pi }^{n-k}=a^n{\pi }^{n-k}=a^n{\left(\frac{b}{a}\right)}^{n-k}=a^k{b}^{n-k}$$
これは整数です。つまり $I$ は整数ということになります。しかし①で $I$ は $0$ から $1$ の間にある数だと評価しました。これは矛盾します。よって円周率は無理数です。