πが無理数であることの証明

　円周率 $\pi$ は $\sin{\pi}=0,\ \cos{\pi}=-1$ であると定義して、円周率が無理数である ことを証明します。

円周率が無理数であることの証明

　まず次のような関数を定義します。
　
\[f(x)=\frac{p^n}{n!}x^n(\pi-x)^n\]
定義から明らかなように、$f(x)$ は
　
\[f(x)=f(\pi-x)\]
という周期性があり、$m$ 階導関数について
　
\[f^{(m)}(\pi)=(-1)^mf^{(m)}(0)\]
という関係をみたします。この $f(x)$ に $\sin{x}$ をかけて $0$ から$\pi$ まで積分した値を I とおきます。
　
\[I=\int_{0}^{\pi}f(x)\mathrm{sin}xdx\]
この積分値 $I$ について二通りの方法で評価します。

① $0\lt x\lt\pi$ より
　
\[0\lt x(\pi-x)\lt \pi(\pi-x)\lt \pi^2\]
　$n$ 乗して $n!$ で割ります。
　
\[\begin{align*}&0\lt \frac{p^n}{n!}x^n(\pi-x)^n\lt \frac{p^n}{n!}\pi^2n\\
&0\lt f(x)\lt \frac{p^n}{n!}\pi^2n\end{align*}\]
　$0\lt x\lt\pi$ の範囲では $0\lt\sin{x}\lt 1$ なので
　
\[0\lt f(x)\sin{x}\lt\frac{p^n}{n!}\pi^2n\]
　$0$ から $\pi$ まで積分すると
　
\[0\lt I\lt\frac{(p\pi^2)^n}{n!}\pi\]
　ここで
　
\[\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\alpha ^n}{n!}=0 \tag{1}\]
が成り立つので、適当に大きな $n$ をとれば
　
\[0\lt I\lt 1\]
となります。

② 部分積分によって実際に $I$ を計算します。ここで
　
\[\int f(x)\mathrm{sin}xdx=\sum_{k=0}^{\infty }(-1)^k\: [f^{(2k+1)}(x)\mathrm{sin}x-f^{(2k)}(x)\mathrm{cos}x] \tag{1}\]
という積分公式を用いると、
　
\[I=2\sum_{k=0}^{n}(-1)^kf^{(2k)}(0)\]
が得られます。ここで二項展開の公式
　
\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_k\:a^{k}\:b^{\:n-k}\]
を用いて $f(x)$ を展開すると
　
\[f(x)=\frac{p^n}{n!}\: \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\, _{n}C_{k}\pi^{n-k}x^{n+k}\]
　$x^n$ の係数を簡単に $a_N$ で表すと、
　
\[f(x)=a_nx^n+a_{n+1}x^{n+1}+\cdots +a_{n+k}x^{n+k}+\cdots \]
となります。これを $n+k$ 回微分すると、$x^{n+k}$ 以降を微分した項だけが残り、また $x^{n+k}$ を微分した項のみ定数となります。よって $x=0$ を代入すると $x^{n+k}$ を微分した項以外は全て消えます。よって
　
\[f^{n+k}(0)=\frac{p^n}{n!}(-1)^k\, _{n}C_{k}(n+k)!\: \pi^{n-k}\]
となります。ここで円周率が自然数 $a,\ b$ によって
　
\[\pi=\frac{b}{a}\]
と書ける（つまり有理数である）と仮定します。$f(x)$ の $p$ は任意ですから $p$ を $a$ で置き換えてみると
　
\[p^n\pi^{n-k}=a^n\pi^{n-k}=a^n\left ( \frac{b}{a} \right )^{n-k}=a^k\: b^{n-k}\]
これは整数です。つまり $I$ は整数ということになります。しかし①で $I$ は $0$ から $1$ の間にある数だと評価しました。これは矛盾します。よって円周率は無理数です。