変数分離型微分方程式の解法

変数分離型

次のような微分方程式
 $$\begin{array}{}\text{(A)}& \frac{dy}{dx}=X(x)Y(y)\end{array}$$
を考えます。右辺が $x$ の関数 $X(x)$と $y$ の関数 $Y(y)$ の積となっています。このような形の微分方程式を 変数分離型 といいます。ただし $y$ は $x$ の関数 $y(x)$ なので、$Y(y)$ は $y$ を介して $x$ の関数となっています。両辺を $Y(y)$ で割ると、
 $$\begin{array}{}\text{(A-1)}& \frac{1}{Y(y)}\frac{dy}{dx}=X(x)\end{array}$$
となります。両辺を積分すると
 $$\begin{array}{}\text{(A-2)}& \int \frac{1}{Y(y)}\frac{dy}{dx}dx=\int X(x)dx\end{array}$$
となりますが、ここで置換積分の公式
 $$\int f(x)dx=\int f(x)\frac{dx}{dt}dt$$
と用いると左辺は
 $$\int \frac{1}{Y(y)}\frac{dy}{dx}dx=\int \frac{1}{Y(y)}dy$$
と書けるので、式 (A-2) は
 $$\begin{array}{}\text{(A-3)}& \int \frac{1}{Y(y)}dy=\int X(x)dx+c\end{array}$$
となります ($C$ は積分定数) 。これは形式的にもとの微分方程式 (A) の両辺に $dx$ をかけるという操作をしてもかまわないことを示しています。したがって、今後は (A) のような微分方程式はいきなり
 $$\begin{array}{}\text{(A-4)}& \frac{dy}{Y(y)}=X(x)dx\end{array}$$
というように変形してから両辺を積分します。上式の左辺は $y$ の関数とその変化量 $dy$ , 右辺は $x$ の関数とその変化量 $dx$ のみで表されています。このような式変形を変数分離とよびます。

【変数分離型方程式の例①】最も基本的な変数分離型方程式
 $$\begin{array}{}\text{(B)}& \frac{dy}{dx}=ky\end{array}$$
を解いてみます。式 (A) において $X(x)=k,Y(y)=y$ とした方程式です。変数分離すると
 $$\frac{dy}{y}=kdx$$
となります。両辺を積分すると
 $$\begin{array}{r}\int \frac{dy}{y}=\int kdx\\ \log \mid y\mid =kx+c\\ \mid y\mid =e^c{e}^{kx}\\ y=\pm e^c{e}^{kx}\end{array}$$
という解が得られます。ここで $y=0$ も (B) の解となっていますが、$\pm e^c\ne 0$ なので、そのままでは上の解に含まれません。しかし $A$ を 0 も含めた任意の定数として
 $$y=A{e}^{kx}$$
とすれば、(B) の全ての解を含むことになります。

【変数分離型方程式の例②】次は右辺に $y^2$ を含む形の
 $$\begin{array}{}\text{(C)}& \frac{dy}{dx}=1-y^2\end{array}$$
を解いてみます。変数分離すると
 $$\frac{dy}{y^2-1}=-dx$$
両辺を積分すると右辺は $-x+c$ となり、左辺は
 $$\int [\frac{dy}{y^2-1}=\frac{1}{2}\int [\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y+1}]=\frac{1}{2}\log \left|\frac{y-1}{y+1}\right|$$
となるので、
 $$\begin{array}{}\text{(C-1)}& \log \left|\frac{y-1}{y+1}\right|=-2x+c\end{array}$$
$A=\pm e^c$ とおけば、
 $$\begin{array}{}\text{(C-2)}& y=\frac{1+A{e}^{-2x}}{1-A{e}^{2x}}\end{array}$$
という解が得られます。また $1-y^2=0$ より $y=\pm 1$ という特解もありますが、これは上の式で $A=0$ または $A=\pm \mathrm{\infty }$ とおいたものに等しくなっているので、改めて $A$ を任意の定数とすれば、上の解は全ての解を含むことになります。この微分方程式の解曲線を Excel でプロットすると下図のようになりした。
 

 
上図を見ると、解曲線群は $y=\pm 1$ を境に分離されています。