双曲線関数(定義/基本公式/微分積分公式)

双曲線関数の定義 Hyperbolic Functions

 双曲線正弦関数 (hyperbolic cosine) 双曲線余弦関数(hyperbolic sine) はそれぞれ双曲線 $X^2-Y^2=1$ 上の $X$ 座標および $Y$ 座標として定義されています。

Excel双曲線方程式のグラフ

 双曲線正弦関数と双曲線余弦関数は指数関数を用いて
 
\[\begin{align*}X&=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2} \tag{1}\\[6pt]
Y&=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2} \tag{2}\end{align*}\]
と表すことができます(この表式が正しいことは (1) と (2) を双曲線方程式に代入して確かめることができます)。また 双曲線正接関数 (hyperbolic tangent) は次のように定義します。
 
\[\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \tag{3}\]
 (1) から (3) の関数をまとめて 双曲線関数 と呼びます。
 また定義より明らかに
 
\[\cosh ^2x-\sinh ^2x=1 \tag{4}\]
が成り立っています。 $\sinh x$ と $\tanh x$ は奇関数、 $\cosh x$ は偶関数であり、グラフは下図のようになります。

 Excel双曲線関数グラフ
 

双曲線関数の基本公式
 Basic Formulas of Hyperbolic Functions

 定義から双曲線関数について以下の公式を簡単に導くことができます。

加法定理

\[\begin{align*}\sinh (x \pm y) &= \sinh x\cosh y \pm \cosh x\sinh y \tag{5}\\[6pt]
\cosh (x \pm y) &= \cosh x\cosh y \pm \sinh x\sinh y \tag{6}\\[6pt]
\tanh (x \pm y) &= \frac{\tanh x \pm \tanh y}{1 \pm \tanh x\tanh y} \tag{7}\\[6pt]
\sinh 2x&=2\sinh x\cosh x \tag{8}\\[6pt]
\cosh 2x&=2\cosh ^2x-1=1+2\sinh ^2x \tag{9}\end{align*}\]

和から積の変換公式

\[\begin{align*}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \frac{x+y}{2} \cosh \frac{x-y}{2} \tag{10}\\[6pt]
\sinh x-\sinh y&=2\sinh \frac{x-y}{2} \cosh \frac{x+y}{2} \tag{11}\\[6pt]
\cosh x+\cosh y&=2\cosh \frac{x+y}{2} \cosh \frac{x-y}{2} \tag{12}\\[6pt]
\cosh x-\cosh y&=2\sinh \frac{x+y}{2} \sinh \frac{x-y}{2} \tag{13}\end{align*}\]

積から和の変換公式

\[\begin{align*}2\sinh x\sinh y&=\cosh (x+y)-\cosh (x-y)\\[6pt]
2\sinh x\cosh y&=\sinh (x+y)-\sinh (x-y)\\[6pt]
2\cosh x\sinh y&=\sinh (x+y)-\sinh (x-y)\\[6pt]
2\cosh x\cosh y&=\cosh (x+y)-\cosh (x-y)\end{align*}\]
 

双曲線関数の微分公式
 Differential of Hyperbolic Functions

 双曲線関数の微分も定義によって簡単に計算できます。
 
\[\begin{align*}(\sinh ax)'&=a\cosh ax \tag{14}\\[6pt]
(\cosh ax)'&=a\sinh ax \tag{15}\\[6pt]
(\tanh ax)'&=\frac{a}{\cosh ^2ax} \tag{16}\end{align*}\]
 

双曲線関数の積分公式
 Integral of Hyperbolic Functions

 双曲線関数の積分は次のように計算できます。
 
\[\begin{align*}\int \cosh axdx&=\frac{1}{a}\sinh ax \tag{17}\\[6pt]
\int \sinh axdx&=\frac{1}{a}\cosh ax \tag{18}\\[6pt]
\int \tanh axdx&=\frac{1}{a}\log (\cosh ax) \tag{19}\end{align*}\]
 

正割/余割/余接

 双曲線正割 (hypabolic secant) 、双曲線余割 (hypabolic cosecant) 、双曲線余接 (hypabolic cotangent) については次のように定義されます。
 
\[\begin{align*}\mathrm{sech}x&=\frac{1}{\mathrm{cosh}x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}\\[6pt]
\mathrm{csch}x&=\frac{1}{\mathrm{sinh}x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}\\[6pt]
\mathrm{coth}x&=\frac{\mathrm{cosh}x}{\mathrm{sinh}x}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}\end{align*}\]
 それぞれの微分は次のように計算できます。
 
\[\begin{align*}
(\mathrm{sech}x)'&=-\tanh x \mathrm{sech}x\\[6pt]
(\mathrm{csch}x)'&=-\mathrm{coth}x \mathrm{csch}x\\[6pt]
(\mathrm{coth}x)'&=1-\mathrm{coth}^2x=-\mathrm{csch}^2x\end{align*}\]

 ≫ 数学辞典

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