数列の発散と収束・極限の四則演算

数列の定義

　自然数 $1,2,3,\cdots ,n,\cdots$ のそれぞれに対応する数があって、それらを順に並べた
 $$a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n,\cdots$$
を 数列 (sequence) とよび、まとめて $\{a_n\}$ と書くこともあります。それぞれの数字を 項 (term) といい、$a_1$ を 初項 (first term), $a_n$ を 一般項 (general term) といいます。たとえば、
 $$1,3,5,7,\cdots ,2n+1,\cdots$$
は初項 1 に 2 を加えながら並べた等差数列です ($a_n=2n+1$) 。項数が有限である数列を 有限数列 (finite sequence), 無限である数列を 無限数列 (finite sequence) とよびます。

数列の収束

たとえば次のような減少数列 (decreasing sequence)
 $$2,\frac{3}{2},\frac{5}{3},\cdots ,2-\frac{1}{n},\cdots$$
を考えます。$n$ を大きくしていくと $1/n$ は減少し続けて最後には 0 となり、数列は 2 に限りなく近づいていきます。これを
 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=2$$
と書いて数列 $\{a_n\}$ は 2 に収束するといいます。これを単に $a_n\to 2$ と書くこともあります。一般に $n\to \mathrm{\infty }$ のときに $a_n$ が確定値 $a$ をとる場合、数列 $\{a_n\}$ は $a$ に収束するといい、 $a$ のことを 極限値 (limit value) とよびます。

数列の発散

初項 2 に順次 2 を掛け続ける数列 (等比数列)
 $$2,4,8,\cdots ,n^2,\cdots$$
は $n$ を無限に大きくすると $a_n$ も無限に大きくなり、それを記号で
 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$$
と表記します。数列は 正の無限大に発散 (divergence) する といいます。これを単に $a_n\to \mathrm{\infty }$ と書くこともあります。また逆に
 $$2,0,-2,\cdots ,4-2n,\cdots$$
という数列は $n$ を無限に大きくすると $a_n$ が無限に小さくなっていきます（絶対値は無限大となります）。このような数列は 負の無限大に発散 (divergence) するといい、
 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=-\mathrm{\infty }$$
と書きます。簡略記号は $a_n\to -\mathrm{\infty }$ です。

有限不確定

初項 -1 に -1 を順次掛けていく数列
 $$-1,1,-1,\cdots ,(-1{)}^n,\cdots$$
は -1 と 1 を繰り返し、$n$ を無限に大きくしても特定の値に定まりません。このような状態を「極限なし」あるいは「有限不確定」といいます。

極限の四則演算

極限値の四則演算については次の公式が成り立ちます。