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数列の発散と収束・極限の四則演算

数列の定義

 自然数 $1,\:2,\:3,\: \cdots,\:n,\: \cdots$ のそれぞれに対応する数があって、それらを順に並べた
 \[a_1,\:a_2,\:a_3,\: \cdots,\:a_n,\:\cdots\]
数列 (sequence) とよび、まとめて $\{a_n\}$ と書くこともあります。それぞれの数字を 項 (term) といい、$a_1$ を 初項 (first term), $a_n$ を 一般項 (general term) といいます。たとえば、
 \[1,\:3,\:5,\:7,\: \cdots,\:2n+1,\:\cdots\]
は初項 1 に 2 を加えながら並べた等差数列です ($a_n=2n+1$) 。項数が有限である数列を 有限数列 (finite sequence), 無限である数列を 無限数列 (finite sequence) とよびます。

数列の収束

たとえば次のような減少数列 (decreasing sequence)
 \[2,\:\frac{3}{2},\:\frac{5}{3},\: \cdots,\:2-\frac{1}{n},\:\cdots\]
を考えます。$n$ を大きくしていくと $1/n$ は減少し続けて最後には 0 となり、数列は 2 に限りなく近づいていきます。これを
 \[\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=2\]
と書いて数列 $\{a_n\}$ は 2 に収束するといいます。これを単に $a_n\rightarrow 2$ と書くこともあります。一般に $n\rightarrow\infty$ のときに $a_n$ が確定値 $a$ をとる場合、数列 $\{a_n\}$ は $a$ に収束するといい、 $a$ のことを 極限値 (limit value) とよびます。

数列の発散

初項 2 に順次 2 を掛け続ける数列 (等比数列)
 \[2,\:4,\:8,\:\cdots,\:n^2,\:\cdots\]
は $n$ を無限に大きくすると $a_n$ も無限に大きくなり、それを記号で
 \[\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\infty\]
と表記します。数列は 正の無限大に発散 (divergence) する といいます。これを単に $a_n \rightarrow \infty$ と書くこともあります。また逆に
 \[2,\:0,\:-2,\:\cdots,\:4-2n,\:\cdots\]
という数列は $n$ を無限に大きくすると $a_n$ が無限に小さくなっていきます(絶対値は無限大となります)。このような数列は 負の無限大に発散 (divergence) するといい、
 \[\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=-\infty\]
と書きます。簡略記号は $a_n \rightarrow -\infty$ です。

有限不確定

初項 -1 に -1 を順次掛けていく数列
 \[-1,\:1,\:-1,\:\cdots,\:(-1)^n,\:\cdots\]
は -1 と 1 を繰り返し、$n$ を無限に大きくしても特定の値に定まりません。このような状態を「極限なし」あるいは「有限不確定」といいます。

極限の四則演算

極限値の四則演算については次の公式が成り立ちます。

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が収束し、
\[\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\alpha,\quad \lim_{n\rightarrow \infty}b_n=\beta\]であるとき、
\[\begin{align*}[1]&\:\lim_{n\rightarrow\infty}ka_n=k\alpha\\[6pt][2]&\:\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n \pm b_n)=\alpha \pm \beta\\[6pt][3]&\:\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}\end{align*}\]が成り立つ。

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