【Excel】連立方程式の数値解

この記事ではExcel関数を使って、連立方程式の数値解を求める方法について解説します。

【Excel】連立方程式の数値解

準備として、連立方程式を行列で解く方法について、簡単に説明しておきます。次のような連立方程式を考えます。
 $$\begin{array}{r}ax+by=p\\ cx+dy=q\end{array}$$
ここで行列 $A$ とベクトル $\mathit{x},\mathit{b}$ を
 $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),\mathit{x}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y}),\mathit{b}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{q})$$
とおくと、連立方程式は
 $$A\mathit{x}=\mathit{b}$$
と表せます。両辺に逆行列を左からかけます。
 $$A^{-1}A\mathit{x}=A^{-1}\mathit{b}$$
$A^{-1}A=I$ ($I$ は単位行列) なので、
 $$I\mathit{x}=A^{-1}\mathit{b}$$
さらに、$I\mathit{x}=\mathit{x}$ なので、
 $$\mathit{x}=A^{-1}\mathit{b}$$
となります。逆行列を用いると、このように解ベクトル $\mathit{x}$ を機械的に計算できますが、$detA=ad-bc=0$ のときは逆行列は存在せず、方程式も解をもたなかったり不定であったりします。

それでは、Excel を使って連立方程式の数値解を求めてみましょう。下図を参照にシートを作っていきます。
 

セル B2, B3, D2, D3, G2, G1 には適当な値を入れておきます。セル B6, B7, C6, C7 には相対参照で方程式の x と y の係数を写し取るようにして配列を作ります（ユーザーが値を変えれば配列も変化します）。
 
次に逆行列を作ります。セル B6 から C7 の範囲を選択して

=minverse(B6:C7)

と入力して、[Ctrl] + [Shift] + [Enter] を押してください。次に行列積を計算します。セル I6 と I7 を選択して

=mmult(E6:F7,G2:G3)

と入力して、[Ctrl] + [Shift] + [Enter] で解を得ます。ご自身で係数の値を色々変えて、解がどう変化するかを確認してください。