対称式の最大値

【CL25】対称式の最大値

正の数 $a,b$ が $a^3+b^3=2$ を満たすとき、$a^2+b^2$ の最大値を求めてください。（静岡大一部改）

【ヒント】二変数関数の最大値を求める問題ですが、$a,b$ が正数であることに加え、$a^3+b^3=2$ という強い束縛条件があるので、一変数関数に置き換えて解くことができます。
　
【解答】二変数を一変数に置き換えることを目標としますが、$a^3+b^3=2$ という条件式は、$a,b$ が正である場合、非常に強い 束縛条件 であることがわかります ($a,b$ ともに小さな範囲しか動けません)。まずはその定義域を把握します。そのあとは微分して関数の増減から最大値を求めます。

とりあえず、$a^3+b^3=2$ のような対称式を見たら、$a+b$ と $ab$ を作りだすことを考えます。そうすれば解と係数の関係に持ち込めます。まずは $a^3+b^3$ を因数分解します。
$$\begin{array}{rl}{a}^3+b^3& =(a+b)(a^2+b^2-ab)\\ & =(a+b)\{(a+b{)}^2-3ab\}\end{array}$$
ここで $a+b=k$ とおくと、条件式 $a^3+b^3=2$ より
$$k(k^2-3ab)=2$$
となるので、
$$ab=\frac{k^3-2}{k}$$
が得られます。
$$a+b=k,ab=\frac{k^3-2}{3k}$$
ですから、解と係数の関係より $a,b$ は
$$t^2-kt+\frac{k^3-2}{k}=0$$
の解であることがわかります。$a,b$ は正の実数なので判別式を $D$ とすると
$$D=k^2-\frac{4(k^3-2)}{3k}\ge 0$$
という条件を満たします。これを解くと $k\le 2$ です。また $a,b$ はともに正の数なので
$$a+b>k>0,ab=\frac{k^3-2}{3k}>0$$
という条件も満たしていなければなりません。すなわち $k^3>2$ です。したがって $k=a+b$ には
$$\sqrt[3]{2}<k\le 2$$
という制限がつきます。これで定義域がわかったので、次は $a^2+b^2$ を
$$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$$
と変形して、さきほどの
$$a+b=k,ab=\frac{k^3-2}{3k}$$
を使って $a^2+b^2$ を $k$ の関数
$$f(k)=k^2-2\frac{k^3-2}{3k}=\frac{k^2}{3}+\frac{4}{3k}$$
に置き換えて微分すると
$$f^{\prime }(k)=\frac{2k^3-4}{3k^2}$$
となりますが、$\sqrt[3]{2}<k\le 2$ なので $f^{\prime }(k)>0$ です。すなわち $f(k)$ は定義域の範囲内で単調増加関数なので、$k=2$ のとき最大値
$$f(2)=\frac{4}{3}+\frac{4}{3\cdot 2}=2$$
をとることになります。