旅人算（追いかけ算と出会い算）

旅人算（追いかけ算と出会い算）

複数の歩行者や車、列車などが同時に動く設定で、速度や追いつくまでの時間を求めるのが旅人算（追いかけ算と出会い算）です。中学入試や公務員試験でお馴染みのタイプの問題ですね。中にはかなり複雑な状況を設定している場合もありますが、いずれにしても基本となるのは「相対速度」という考え方です。とにかく「片方には止まっていてもらう」ことにすると、状況がずっとシンプルになります。

追いかけ算

速度の異なる物体が同じ方向に進むような問題設定を 追いかけ算 とよびます。簡単な例として下の図のように、$A$ と $B$ が互いに $30\mathrm{km}$ 離れた地点から同じ方向に、それぞれ
$$a=10\mathrm{km}/\mathrm{h},b=5\mathrm{km}/\mathrm{h}$$
で同時にスタートする場合を考えてみます。図中で $A,B$ の速度はそれぞれ $a,b$ としています。



$A$ が $B$ に追いつくまでの時間を計算してみましょう。このとき「速度の遅い $B$ には止まっていてもらう」と考えて、次のような状況に置き換えます。



立ち止まっている人から見れば、この２つはどちらも動いているのですが、$A$ から見ると、止まっている $B$ に対して自分が時速 $10-5=5\mathrm{km}$ で移動していることになります。互いの距離は $30\mathrm{km}$ なので、距離を相対速度で割って
$$\frac{30\mathrm{km}}{5\mathrm{km}/\mathrm{h}}=6h$$
すなわち $A$ は $6$ 時間で $B$ に追いつくことができます。

出会い算

物体同士が互いに逆向きに移動して出会う地点などを問うのが 出会い算 です。$A$ と $B$ が互いに $30\mathrm{km}$ 離れた地点から逆方向に（お互いに向き合う形で）それぞれ
$$a=10\mathrm{km}/\mathrm{h}b=5\mathrm{km}/\mathrm{h}$$
で同時にスタートし、お互いが出会うまでの時間を計算してみます。



この場合は $B$ が止まっていて、$A$ が時速 $10+5=15\mathrm{km}$ で $B$ に向かって行くと考えます。



$A$ が $B$ に到達するまでにかかる時間は
$$\frac{30\mathrm{km}}{15\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2h$$
すなわち 2 時間ということになります。

円周を巡る旅人算

人や車が円周に沿って回るという状況設定の問題も定番です。たとえば次のような問題を考えてみます。

最初に $A,B$ が反対方向に移動する状況を考えます。
$A,B$ の速度をそれぞれ $a,b$ とします。



上の左図は問題の設定をそのまま書き表したもので、これを相対速度で置き換えると、右図のように $B$ は止まったままで、 $A$ が分速 $a+b\mathrm{km}$ で走って $18$ 分で湖を１周すると考えることができます。方程式を立てると
$$18(a+b)=30$$
両辺を $6$ で割って
$$\begin{array}{}\text{(1)}& 3(a+b)=5\end{array}$$
となります。次は $A,B$ が同じ方向に移動する状況です。



この場合も $B$ は止まっていて、$A$ が分速 $a-b\mathrm{km}$ で湖を１周すると考えることができるので、
$$90(a-b)=30$$
両辺を $30$ で割って
$$\begin{array}{}\text{(2)}& 3(a-b)=1\end{array}$$
(1) と (2) を解いて
$$a=1\mathrm{km}/\min ,b=\frac{2}{3}\mathrm{km}/\min$$
それぞれ $60$ をかけて時速に直すと
$$a=60\mathrm{km}/\mathrm{h},b=40\mathrm{km}/\mathrm{h}$$
となります。