旅人算(追いかけ算と出会い算)

旅人算(追いかけ算と出会い算)

 複数の歩行者や車、列車などが同時に動く設定で、速度や追いつくまでの時間を求めるのが 旅人算(追いかけ算と出会い算) です。中学入試や公務員試験でお馴染みのタイプの問題ですね。中にはかなり複雑な状況を設定している場合もありますが、いずれにしても基本となるのは「相対速度」という考え方です。とにかく「片方には止まっていてもらう」ことにすると、状況がずっとシンプルになります。
 
 

追いかけ算

 速度の異なる物体が同じ方向に進むような問題設定を 追いかけ算 とよびます。簡単な例として下の図のように、$A$ と $B$ が互いに $30\;\mathrm{km}$ 離れた地点から同じ方向に、それぞれ
 
\[a=10\;\mathrm{km/h},\quad b=5\;\mathrm{km/h}\]
で同時にスタートする場合を考えてみます。図中で $A,\;B$ の速度はそれぞれ $a,\;b$ としています。
 
 旅人算① 追いかけ算
 
 $A$ が $B$ に追いつくまでの時間を計算してみましょう。このとき「速度の遅い $B$ には止まっていてもらう」と考えて、次のような状況に置き換えます。
 
 旅人算① 追いかけ算(相対速度)
 
 立ち止まっている人から見れば、この2つはどちらも動いているのですが、$A$ から見ると、止まっている $B$ に対して自分が時速 $10-5=5\;\mathrm{km}$ で移動していることになります。互いの距離は $30\;\mathrm{km}$ なので、距離を相対速度で割って
 
\[\frac{30\;\mathrm{km}}{5\;\mathrm{km/h}}=6\;h\]
 すなわち $A$ は $6$ 時間で $B$ に追いつくことができます。
 

出会い算

 物体同士が互いに逆向きに移動して出会う地点などを問うのが 出会い算 です。$A$ と $B$ が互いに $30\;\mathrm{km}$ 離れた地点から逆方向に(お互いに向き合う形で)それぞれ
 
\[v_a=10\;\mathrm{km/h}\quad v_b=5\;\mathrm{km/h}\]
で同時にスタートし、お互いが出会うまでの時間を計算してみます。
 
 旅人算② 出会い算
 
 この場合は $B$ が止まっていて、$A$ が時速 $10+5=5\;\mathrm{km}$ で $B$ に向かって行くと考えます。
 
 旅人算② 出会い算(相対速度)
 
 $A$ が $B$ に到達するまでにかかる時間は
 
\[\frac{30\;\mathrm{km}}{15\;\mathrm{km/h}}=2\;h\]
 すなわち 2 時間ということになります。
 

円周を巡る旅人算

 人や車が円周に沿って回るという状況設定の問題も定番です。たとえば次のような問題を考えてみます。

 1周が $30\;\mathrm{km}$ の湖に沿って、2台の自動車 $A$ と $B$ が反対方向に走ると $18$ 分ごとにすれ違い、同じ方向に走れば $A$ は $B$ を $90$ 分ごとに追い越します。$A$ と $B$ の速度は時速何 $\mathrm{km}$ ですか。

 最初に $A,\;B$ が反対方向に移動する状況を考えます。
 $A,\;B$ の速度をそれぞれ $a,\;b$ とします。
 
 湖で旅人算(出会い算)
 
 上の左図は問題の設定をそのまま書き表したもので、これを相対速度で置き換えると、右図のように $B$ は止まったままで、 $A$ が分速 $a+b\;\mathrm{km}$ で走って $18$ 分で湖を1周すると考えることができます。方程式を立てると
 
\[18(a+b)=30\]
 両辺を $6$ で割って
 
\[3(a+b)=5\tag{1}\]
となります。次は $A,\;B$ が同じ方向に移動する状況です。
 
 湖で旅人算(追いかけ算)
 
 この場合も $B$ は止まっていて、$A$ が分速 $a-b\;\mathrm{km}$ で湖を1周すると考えることができるので、
 
\[90(a-b)=30\]
 両辺を $30$ で割って
 
\[3(a-b)=1\tag{2}\]
 (1) と (2) を解いて
 
\[a=1\;\mathrm{km/min},\quad b=\frac{2}{3}\;\mathrm{km/min}\]
 それぞれ $60$ をかけて時速に直すと
 
\[a=60\;\mathrm{km/h},\quad b=40\;\mathrm{km/h}\]
となります。 ≫ 類型別問題研究

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