トランプ（カード）で確率計算

【PS16】右端のカードがキングとなる確率は？

トランプのスペードのカードが $13$ 枚あります。エース、ジャック、クイーン、キングはそれぞれ $1,\;11,\;12,\;13$ の数字であると考えます。この中から無作為に $5$ 枚を抜き出して、数字が小さい順に左から右へ並べます。
(1) 右端のカードがキングとなる確率を求めてください。
(2) 左端のカードがエース, 右端のカードがキングとなる確率を求めてください。
(3) 真ん中のカードが $7$ である確率を求めてください。

【ヒント】今回は トランプを題材とした確率問題 です。本問では引く順番と並ぶ順序は関係ありません。わかりやすいように、エース、ジャック、クイーン、キングは $A,\;J,\;Q,\;K$ で表します。たとえば、$9,\;6,\;K,\;A,\;7$ という順にカードを引いたとすると、
\[A\;6\;7\;9\;K\]というように並びます。つまり何回目に引こうと、キングを引いたら必ず右端にきます。同様にエースを引けば必ず左端にきます。このことを頭に入れて、あとはあまり難しく考えず、基本に忠実に「トランプの並び方は全部で何通りあるのか」「各設問ごとの状況が何通りあるのか」を計算しましょう。
　
【解答】(1) 無条件でカードを $5$ 枚引いた時の並べ方は
\[{}_{13}\mathrm{C}_5\;通り\]
です。何回目であっても、キングを引いたら必ず右端にきます。そこで

□□□□K

というように $K$ だけは固定して、残り $12$ 枚のカードから $4$ 枚の選び方は
\[{}_{12}\mathrm{C}_4\;通り\]
これがキングを含むカードの選び方の総数になります。したがって、右端のカードがキングとなる確率は
\[\frac{{}_{12}\mathrm{C}_4}{{}_{13}\mathrm{C}_5}=\frac{5}{13}\]
となります（記事の後半で別解も載せます）。

(2) キングを引いたら必ず右端に、エースを引けば必ず左端にくるので

A□□□K

というように $A$ と $K$ を固定します。残り $11$ 枚のカードから $3$ 枚の選び方は
\[{}_{11}\mathrm{C}_3\;通り\]
これがエースとキングを含むカードの選び方の総数になります。よって、左端のカードがエース , 右端のカードがキングとなる確率は
\[\frac{{}_{11}\mathrm{C}_3}{{}_{13}\mathrm{C}_5}=\frac{5}{39}\]
となります。

(3) $7$ が中央（左から $3$ 番目）にくるには、$7$ より小さいカードが $2$ 枚引かれて、$7$ より大きいカードが $2$ 枚引かれるという状況です。

□□7□□

$7$ より小さいカード $6$ 枚の中から $2$ 枚を選ぶ方法は
\[{}_6\mathrm{C}_2\;通り\]
あります。それぞれの場合について、$7$ より大きいカード $6$ 枚から $2$ 枚を選ぶ方法も
\[{}_6\mathrm{C}_2\;通り\]
です。したがって、真ん中のカードが $7$ となる並べ方は
\[{}_6\mathrm{C}_2\times {}_6\mathrm{C}_2\;通り\]
となります。よって、求める確率は
\[\frac{({}_6\mathrm{C}_2)^2}{{}_{13}\mathrm{C}_5}=\frac{25}{143}\]
となります。

【別解】(1) については「くじ引きで当たりを引く確率は順番によらない」という考え方で解くこともできます。すなわち、

 $1$ 回目にキング引く確率は $\displaystyle\frac{1}{13}$
 $2$ 回目にキングを引く確率は $\displaystyle\frac{1}{13}$
 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・
 $5$ 回目にキングを引く確率は $\displaystyle\frac{1}{13}$

と考えれば、和の法則によって右端のカードがキングとなる確率は
\[\frac{1}{13}\times 5=\frac{5}{13}\]
というように計算できます。

【PS17】9 枚のカードを並べます

箱の中に $1$ から $9$ までの番号を $1$ つずつ書いた $9$ 枚のカードがあります。それらをよく混ぜて、その中から $1$ 枚ずつ続けて全部を取り出し、取り出した順に $1$ から $9$ までの番号をつけます。このとき、新しくつけられる番号が前もってつけられていた番号に一致するカードがちょうど $5$ 枚できる確率を求めてください。（東大）

【ヒント】取り出したカードには、その引いた順番の数が与えられるということです。問題では「$5$ 枚が一致するような確率を求めなさい」とあります。たとえば次のような状況です。



赤い数字が一致しているところです。このような場合の数をかぞえて確率を計算してください。
　
【解答】古い番号と新しい番号が一致する $5$ 箇所を選ぶ方法は全部で ${}_9\mathrm{C}_5$ 通りあります。その中のひとつ、たとえば、$1,\;3,\;5,\;7,\;8$ について一致する配置になったとします。



$5$ 箇所が一致しているので問題の条件を満たしています。残りの空白部分に $2,\;4,\;6,\;9$ の数字を並べる方法は $4!$ ありますが、これらの数字に関しては古い番号と新しい番号がたとえ１つでも一致してはいけないので、このような場合は除外しなくてはいけません。

残り $4$ 枚のカードも全て新しい番号と一致するのは ${}_4\mathrm{C}_4=1$ 通りだけです。同様に $4$ 枚のうち $3$ 枚が一致するのは ${}_4\mathrm{C}_3$ 通り、$2$ 枚が一致するのは ${}_4\mathrm{C}_2$ 通り、$1$ 枚が一致するのは ${}_4\mathrm{C}_1$ 通りとなります。これらを $4!$ から引いて、
\[4!-({}_4\mathrm{C}_4+{}_4\mathrm{C}_3+{}_4\mathrm{C}_2+{}_4\mathrm{C}_1)=24-15=9\]
が、残り $4$ 枚の数字が新しい番号と一致しない場合の数です。この $9$ 通りそれぞれについて、$5$ 枚が一致する場合が ${}_9\mathrm{C}_5$ 通りあるので、$5$ 枚だけが一致する場合の数は全部で
\[{}_9\mathrm{C}_5\times9\;通り\]
あります。カードの並べ方の総数は $9!$ なので、問題の条件を満たすような状況になる確率を計算すると
\[\frac{{}_9\mathrm{C}_5\times9}{9!}=\frac{1}{320}\]
となります。

【PS18】整数が3で割り切れる確率

$1$ から $7$ の $7$ 個の数字から異なる $4$ 個をとって $4$ 桁の整数をつくるとき、この整数が $3$ で割り切れる確率を求めてください。

【ヒント】ある整数が $3$ で割り切れる条件は？
　
【解答】ある整数が $3$ で割り切れるための必要十分条件は、各桁を足した値が $3$ で割り切れることです。$1$ から $7$ の数を $3$ で割ったときの余りによってグループ分けしてみます。

 余りが $0$ となる数　$A=\{3,\:6\}$
 余りが $1$ となる数　$B=\{1,\:4,\:7\}$
 余りが $2$ となる数　$C=\{2,\:5\}$

ここから、足すと $3$ で割り切れるように、$4$ 個の整数を選ぶ方法を考えると、

 ① $A$ から $2$ 個、$B$ と $C$ からぞれぞれ $1$ 個ずつ
 ② $A$ から $1$ 個、$B$ から $3$ 個
 ③ $B$ と $C$ からぞれぞれ $2$ 個ずつ

となります。たとえば①の方法では、$A$ から $3,\:6$ をとり、$B$ から $4$, $C$ から $2$ をとって足してみると
\[3+6+2+4=15\]
となって、$3$ で割り切れることがわかります。このとき、$3624$ の各桁を並べ替える順列は $4!$ 通りあります。一般化して、①のケースの事象の総数は
\[{}_{3}\mathrm{C}_1\times {}_{2}\mathrm{C}_1\times 4!\]
②のケースの事象の総数は
\[{}_{2}\mathrm{C}_1\times {}_{3}\mathrm{C}_3\times 4!\]
③のケースの事象の総数は
\[{}_{3}\mathrm{C}_2\times 4!\]
となります。全て足し合わせると、条件を満たす事象の数は
\[(6+2+3)\times 4!=264\]
となります。一方で $7$ 個の整数を使って $4$ 桁の整数をつくる方法は全部で
\[{}_{7}\mathrm{P}_4=840\]
なので、求める確率は
\[\frac{264}{840}=\frac{11}{35}\]
となります。