エクセルでベクトル計算（加減と内積・外積）

Excel でベクトル演算を実行するためのワークシートを作ってみましょう。最初に完成図を載せておきます。

Excelベクトル完成図

【Excel】ベクトル演算

【Excel】ベクトル演算

この記事では
$\vec{A} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}), \vec{B} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})$
という 3 次元ベクトルを扱いますが、2 次元ベクトル同士を計算させたい場合は 3 つめの成分に 0 と入力しておいてください。

ベクトルの成分を囲む () はオートシェイプで作成します。

Excel大括弧

[挿入] ⇒ [図形] の順に選択して、メニューから [大かっこ] を選びます。
縦横のサイズなどは適当に調整して、成分を囲むように配置してください。

ベクトルの足し算と引き算

$\vec{A}$ と $\vec{B}$ の和と差は
$\begin{array}{r} \vec{A} + \vec{B} = (\begin{array}{c} a_{1} + b_{1} \\ a_{2} + b_{2} \\ a_{3} + b_{3} \end{array}) \\ \vec{A} - \vec{B} = (\begin{array}{c} a_{1} - b_{1} \\ a_{2} - b_{2} \\ a_{3} - b_{3} \end{array}) \end{array}$
によって定義されています。

Excelベクトルの足し算

上図のように、セル D6 に

=C2+E2

と入力してセル D8 まで数式をコピーすると、 $\vec{A}$ と $\vec{B}$ の各成分同士が足し算されます。次は $\vec{A} - \vec{B}$ と $\vec{B} - \vec{A}$ を計算させてみましょう。

Excleベクトルの引き算

上図のように、セル G6 と G6 にそれぞれ

=C2-E2
=E2-C2

と入力して、8 行目まで数式をコピーすると成分同士が引き算されます。

ベクトルの内積と外積

次はベクトルの内積と外積（ベクトル）を計算します。
ベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ の内積は
$\vec{A} \cdot \vec{B} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$
によって定義されています。また外積（ベクトル積）は
$\vec{A} \times \vec{B} = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix})$
によって定義されています。また外積の演算順序を逆にすると
$\vec{A} \times \vec{B} = - \vec{B} \times \vec{A}$
となります。

Excelベクトルの内積と外積

セル D 11 には

=C2*E2+C3*E3+C4*E4

と入力して内積を計算させます。またセル G10, J10 にはそれぞれ

=D7*G8-D8*G7
=-G10

と入力してこの数式を 12 行までコピーして外積を計算します。

ベクトルの大きさ

今回のシートには載せていませんが、ベクトルの大きさ
$\begin{array}{r} | \vec{A} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}} \\ | \vec{B} | = \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}} \end{array}$
を計算したいときは、任意のセルに

=SQRT(C2^2+C3^2+C4^2)
=SQRT(E2^2+E3^2+E4^2)

と入力してください。