2 項係数の最大値を求めます

[問題 NT-14] 2 項係数最大値

 f(r) = 10C r (0 ≦ r ≦ 10) を最大とする整数 r と、その最大値を求めてください。

問題 NT-14 のヒント

 nCr = n! / [(n - r)! r!] で定義されます。

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問題 NT-14 の解答

 まず f(r) / f(r - 1) を計算します。
 
\[\frac{f(r)}{f(r-1)}=\frac{(11-r)!\: (r-1)!}{(10-r)!\: r!}=\frac{11-r}{r}\]
 よって、f(r) / f(r - 1) > 1 となる範囲は

(11 - 1) / r > 1

より r < 5.5 となります。つまり 0 ≦ r ≦ 5 の範囲で f(r) は増加するので、

10C0 < 10C1 < 10C2 < 10C3 < 10C4 < 10C5

となります。5 ≦ r ≦ 10 の範囲では逆に f(r) は減少し、

10C5 > 10C6 > 10C7 > 10C8 > 10C9 > 10C10

が成立します。つまり、

...... 10C4 < 10C5 > 10C6 ......

のような関係になるので、

r = 5 のとき、f(r) は最大値 f(5) = 10C5 = 252

となります。
 

[補足] f(r) = 10Cr のグラフ

 エクセルで描いた f(r) = 10Cr のグラフを載せておきます。

 Excel2項係数グラフ

 中央で最大値をとり、左右に減衰していく関数となっています。

 ≫ [問題15] 2n = n2 を解きます ≫ 数学演習問題

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