100 枚のカード

問題74 100 枚のカード

 $1\:\sim 100$ までの数が $1$ つずつ書かれた $100$ 枚のカードがあります。この中からある $2$ ケタの整数 $A$ で割り切れる数の書かれたカードを取り除くと、取り除かれたカードは $5$ 枚でした。その次に残ったカードから $10$ で割り切れるカードを取り除くと、取り除かれたカードは $9$ 枚でした。$2$ ケタの整数 $A$ を求めてください。
 

ヒント (1 枚減っています)

 もし最初に $10$ で割り切れる数を取り除いたとしたら、取り除かれるカードは $10$ 枚であったはずです。
 

解答73

 $2$ ケタの整数で割り切れる数が $5$ 枚であったということは、その整数の $100$ 以下の倍数が $5$ 枚であったということです。一番簡単な例として $20$ という数字が思いつきます ($100\div 20=5$)。$20$ の倍数を並べてみると
 
\[20,\;40,\;60,\;80,\;100\]
の $5$ 枚です。しかし $20$ の倍数の書かれたカードを先に取り除いてしまうと、$10$ の倍数のカードと $5$ 枚も重なってしまうので、$2$ 回目には $5$ 枚しか取り除かれないことになってしまいます。これでは問題の条件に合いません。また、
 
\[100\div 21=4\:\cdots\:16\]
なので、$A$ が $21$ 以上の数ということもありません。そこで $20$ より少しだけ小さい数を調べていくと、
 
\[\begin{align*}&100\div 19=5\:\cdots\:5\\[6pt]
&100\div 18=5\:\cdots\:10\\[6pt]
&100\div 17=5\:\cdots\:15\\[6pt]
&100\div 16=6\:\cdots\:4\end{align*}\]
となるので、答えの候補は $19,\;18,\;17$ の $3$ 枚だけです。しかし $19$ と $17$ の倍数はそれぞれ
 
\[\begin{align*}19,\;38,\;57,\;76,\;95\\[6pt]
17,\;34,\;51,\;68,\;85\end{align*}\]
なので $10$ の倍数とは重なりません($10$ との最小公倍数が $100$ を超えています)。$18$ の倍数は
 
\[18,\;36,\;54,\;72,\;90\]
となって、$90$ だけが $10$ の倍数と一致しています。よって答えは $A=18$ となります。

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