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閉区間に含まれる要素数

関数とは数と数を1対1の対応で結びつけるものです。中学校では最初に一次関数 y = ax というものを学びます。一見すると単純極まりない関係に思えますが、そこには身震いするような真実が隠されているのです。

閉区間に含まれる要素数

一次関数 y = 2x のグラフを描いてみます。
 
Excel1次関数と無限のグラフ

グラフには x 軸に沿った区間 [0, 1] を赤い線分で、y 軸に沿った区間 [0, 2] を青い線分で示してあります。さて、赤い部分と青い部分、どちらによりたくさんの数が含まれているでしょうか? なんだか馬鹿げた問いに思えますね。
「青い線分は赤い線分の2倍の長さがあるのだから、含まれている数も2倍あるはずだ」
と考えるのが普通です。

しかし本当にそうでしょうか?
まず x から y への対応関係を考えます。これは関数なのですから、x が整数であろうと有理数であろうと、あるいは無理数であろうと、必ず対応関係がつきます。でも x を取りつくしたあとに右の図のように y が余ってしまうこともあるかもしれません。そこで y = 2x を x = y/2 と書き換えて、先に y を定めてから x を決めることにします。この場合も1つの y に対して1つの x が対応するので、x と y は必ず1対1で結びつき、どちらかが余るということはありません。したがって

区間 [0, 1] と区間 [0, 2] に含まれる要素数は同じである

と結論できます。「そんな馬鹿な!」と思われるかもしれませんが、数学においては、これは全くの真実です。数直線のある部分を切り取ると、そこには必ず無限の要素が含まれます。つまり無限集合同士を比較しているので、このような直感に反した結論が導き出されてしまうのです。上の例では y = 2x という関数で調べましたが、x の係数を変えて y = 10 x にしようが y = 100 x にしようが同じことです。つまり区間 [0, 1] や区間 [0, 10] , あるいは区間 [0, 100] も、そこに含まれる要素数は同じであるということです。さらに一般的に言うと、

数直線から適当な閉区間を切り取れば、そこに含まれる要素数はどれも同じである

ということです。この議論をさらに無限に広がる平面にまで拡張したのがリーマンという数学者です。

エクセルや数学に関するコメントをお寄せください

  1. なさ より:

    面白かったです。
    数学はあまり得意ではありませんが、奥が深いですね。

    • Blog Cat より:

      ありがとうございます。
      楽しんで読んでいただけると私も嬉しいです。
      数学は本当に奥が深いので、私も楽しみながら少しずつ学んでいます。

  2. あとりえこばと より:

    【AI連載小説】数学のリズム、エクセルの旋律(34)
    「真琴が塾で開区間と閉区間について説明します」
     
    真琴が塾で生徒たちに向かって説明している場面。

    真琴:みんな、今日は開区間と閉区間について学ぼう。まず、開区間とは何か知ってる人いる?
    生徒1:開区間って、両端が含まれない区間のことですか?
    真琴:その通りだ。開区間では、区間の両端の点が含まれないんだ。例えば、(a, b)って感じの区間ね。
    生徒2:それと閉区間ってどう違うんですか?
    真琴:閉区間は区間の両端が含まれるんだ。具体的には、[c, d]って感じの区間が閉区間だよ。

    生徒たちが頷く中、真琴が続けた。
     
    真琴:例えば、1から5の範囲を考えると、(1, 5)は1も5も含まれない開区間で、[1, 5]は1も5も含まれる閉区間だね。理解できたかな?

    生徒たちが頷くと、真琴が手持ちのチョークで区間を黒板に書いた。
     
    真琴:開区間と閉区間の違いはこの含まれる点の部分だ。これから問題も解いていくから、よく覚えておいてね。