0は偶数？ それとも奇数？

　ネットを検索していると 0 は偶数なのか奇数なのか という質問をたまに見かけます。それに対する答えははっきりしているのですが、ネット上では色々な噂（？）が飛び交っていて、一部で混乱を引き起こしているようです。ネット上での質問に対して、集合論まで使って厳密に解説してくれる真面目な人もいますが、そんな難解な数学講義を聞かされても「？？？」とかえって困惑する人も多いのではないでしょうか。というわけで、この記事ではあくまで真面目に、でもあまり難しくなり過ぎないような解答を載せてみようと思いました。

0は偶数です

　結論から言うと 0 は偶数 です。
　しかし、そんなふうに断定的に言われても、
「4 は 2 つに分けられるから偶数だし、5 は 2 つで分けると 1 つ余るから奇数だよね。それは感覚的によくわかるけど、何もないものをどうやって分けるの？」
と疑問に思う人もたくさんいるでしょう。

　そこで今回は 0は偶数 であることの理由をじっくり考えてみます。実はこれは「定義」の問題であって、そもそも偶数や奇数をどのように定義しているかを知ると、さほど難しい話ではありません。まずは偶数と奇数の定義をしっかりと確認しておきましょう。

偶数とは？

　ある整数 N が偶数であるとは、任意の整数 a を使って

N = 2 a

という形に書けることです。a = 2 を入れてみると

N = 2・2 = 4

となって、よく知られた偶数になります。a は負であっても 0 であっても構いません。 a = －1 を入れると、

N = 2・(－1) = － 2

ですから、－ 2 も偶数です。そして 0 を入れてみると、

N = 2・0 = 0

となるので、立派に偶数であることがわかります。同じように、N が奇数であるとは

N = 2 a + 1

のように書けることです。0 はどんなに頑張ってもこの形に書けないので、奇数ではないということになります。

　そしてここが大切な点なのですが、これは偶数と奇数をこのように定めている「定義」だということです。数学において「定義」とはあくまで「決まり事」なので、別の「定義」の仕方を選んでもよかったのです。たとえば仮に昔の人が「N が偶数であるとは、0 以外の整数 a を使って N = 2 a と書けることである」と決めたなら、0 は偶数の定義から外されます。でも、奇数の中に含めることも難しいので（ 2 a + 1 に代わる 0 を含めた簡潔な定義式を見つけることはできそうにないので）、「0 は偶数でも奇数でもない数である」ということになるでしょう。しかし、せっかく「任意の a で … 」というように美しくまとまった偶数の定義を「0 以外の a で … 」というように煩雑なものにする必要性は特にありませんし、整数論の剰余類などでも色々な不便が生じます。なので、いくら昔の人が変な決め方をしても、「こんな馬鹿な定義はやめろ！」と多くの数学者のクレームがついて、やはりすぐに修正されたでしょう。

0が偶数であることを感覚的に掴みましょう

　このように四角四面な定義によって「0は偶数と決められています」と言われても、しっくりこないかもしれません。でも、実際のところ、0 を偶数と定めておくことは私たちの直感にもぴったりフィットします。１つの例を見るために、0 を除外した整数を並べてみます。

… －4, －3, －2, －1, 1, 2, 3, 4, …

　私たちの自然な感覚として「偶数と奇数は交代で現れる」というものがありますね。上の並びで正のところをみると、

1 (奇数), 2(偶数), 3(奇数), 4(偶数), …

と確かに交代で現れています。しかし、1 の左隣を見ると

… －1(奇数), 1(奇数), …

　奇数が 2 つ並んでしまっています！　何だかすっきりしませんね。
　仮に「 0は奇数！」という無茶な決め方をすると、

… －1(奇数), 0(奇数), 1(奇数), …

　奇数が 3 つも並んでしまいます。こんなのは論外。
　ということで、やはり 0 を偶数と決めて

… －4, －3, －2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, …

と並べると、ちゃんと偶数と奇数は交代で現れることになります。

剰余類の観点から0の偶奇性を調べます

　整数論には剰余類という概念があります。
　何だかとても難しそうな言葉ですが、実はとてもシンプルな概念で、「全ての整数は、ある数で割ったときの余りの数で分類される」というものです。つまり偶数と奇数は 2 で割ったときの余りが 0 になるか 1 になるかでグループ分けします。普通は Class の頭文字 C という文字に余りの 0 と 1 を添えて

C₀ = {… －4, －2, 0, 2, 4, …}
C₁ = {… －3, －1, 1, 3, …}

というように記述します。全ての数が必ずどちらかに入れられます。そのようにすることで、この剰余類から様々な定理が生み出されるのです。ここではこれ以上立ち入りませんが、興味のある人は、当サイトの 初等整数論講座 で 0 の偶奇性についてじっくり考えてみてください。

計算規則の観点から0の偶奇を調べます

　よく知られている計算規則に

偶数 + 偶数 = 偶数
奇数 + 奇数 = 偶数

といったものがありますね。そこで

4 + (－ 4) = 0

としてみます。 0 が偶数でないとすれば、規則が成り立たなくなってしまいます。「計算結果が 0 でない限り」というように注釈を付け加えた規則にすることも可能かもしれませんが、そんな面倒な規則は鬱陶しいだけで何の益にもなりません。

Excelでも0は偶数です

　Excel には数値の偶奇性を調べる ISEVEN 関数と ISODD 関数が用意されています。

　ISEVEN 関数に偶数を渡すと TRUE, 奇数を渡すと FALSE が返ります。セルに

=ISEVEN(0)

と入力すると「TRUE」が表示されるので、Excel でも「0は偶数」と定義されていることがわかります。

　ISODD 関数に偶数を渡すと FALSE, 奇数を渡すと TRUE が返ります。したがって、セルに

=ISODD(0)

と入力すると「FALSE」となり、この結果からも、0 が奇数ではない、つまり「0は偶数」と定められていることがわかります。