ネットを検索していると 0 は偶数なのか、それとも奇数なのか という質問をたまに見かけます。それに対する答えははっきりしているのですが、中には受験参考書などにも堂々と間違った記述があったりするので、一部で混乱を引き起こしているようです。
もちろんネット上での質問に対して、集合論まで使って厳密に解説してくれる人もいますが、さすがにやり過ぎで、そんな難解な数学講義を聞かされた質問者さんも「？？？」とかえって困惑してしまったのではないでしょうか。というわけで、この記事では真面目に、でもあまり難しくなり過ぎないような解答を載せてみようと思いました。
0 は偶数です
結論から言うと 0 は偶数です。しかし、そんなふうに断定的に言われても、
「 4 は 2 つに分けられるから偶数だし、5 は 2 つで分けると 1 つ余るから奇数だよね。それは感覚的によくわかるけど、何もないものをどうやって分けるの？」
と疑問に思う人もたくさんいるでしょう。
そこで今回は 0 は偶数である ことの理由をじっくり考えてみます。実はこれは「定義」の問題であって、そもそも偶数や奇数をどのように定義しているかを知ると、さほど難しい話ではありません。まずは定義をしっかりと確認しておきましょう。
偶数であること、奇数であることの定義
ある整数 N が偶数であることの定義は、任意の整数 a を使って
という形に書けることです。a は本当に任意です。a = 2 を入れてみると
となって、よく知られた偶数になります。 a は負であっても 0 であっても構いません。 a = －1 を入れると、
ですから、－ 2 も偶数です。そして 0 を入れてみると、
となるので、立派に偶数であることがわかります。同じように、N が奇数であるとは
のように書けることです。 0 はどんなに頑張ってもこの形に書けないので、奇数ではないということになります。
そしてここが大切な点なのですが、これは偶数と奇数をこのように定めている「定義」だということです。数学において「定義」とはあくまで「決まり事」なので、別の「定義」の仕方を選んでもよかったのです。たとえば仮に昔の人が「 N が偶数であるとは、0 以外の整数 a を使って N = 2 a と書けることである」と決めたなら、0 は偶数の定義から外されます。しかし奇数の中に含めることも難しいので（ 2 a + 1 に代わる 0 を含めた簡潔な定義式を見つけることはできそうにないので）、「 0 は偶数でも奇数でもない数である」ということになるでしょう。しかしせっかく「任意の a で ...... 」というように美しくまとまった偶数の定義を「 0 以外の a で ...... 」というように煩雑なものにする必要性は特にありませんし、整数論の剰余類などでも色々な不便が生じます。なので、いくら昔の人が変な決め方をしても、「こんな馬鹿な定義はやめろ！」と多くの数学者のクレームがついて、やはりすぐに修正されたでしょう。
0 が偶数であることを感覚的にも合います
しかし、このように四角四面な定義によって「 0 は偶数と決められています」と言われても、イメージとして定着させることはできません。しかし実際のところ、 0 を偶数と定めておくことは私たちの直感にもぴったりフィットします。１つの例を見るために、0 を除外した整数を並べてみます。
私たちの自然な感覚として「偶数と奇数は交代で現れる」というものがありますね。上の並びで正のところをみると、
と確かに交代で現れています。しかし、1 の左隣を見ると
奇数が 2 つ並んでしまっています！ 何だかすっきりしませんね。
仮に「 0 は奇数！」という無茶な決め方をすると、
奇数が 3 つも並んでしまいます。こんなのは論外。
ということで、やはり 0 を偶数と決めて
と並べると、ちゃんと偶数と奇数は交代で現れることになります。
剰余類の観点から 0 の偶奇調べます
整数論には剰余類という概念があります。
何だかとても難しそうな言葉ですが、実はとてもシンプルな概念で、「全ての整数は、ある数で割ったときの余りの数で分類される」というものです。つまり偶数と奇数は 2 で割ったときの余りが 0 になるか 1 になるかでグループ分けします。普通は Class の頭文字 C という文字に余りの 0 と 1 を添えて
C1 = {...... －3, －1, 1, 3, ......}
というように記述します。全ての数が必ずどちらかに入れられます。そのようにすることで、この剰余類から様々な定理が生み出されるのです。ここではこれ以上立ち入りませんが、興味のある人は、当サイトの 初等整数論講座 で 0 の偶奇性についてじっくり考えてみてください。
計算規則の観点から 0 の偶奇を調べます
よく知られている計算規則に
奇数 + 奇数 = 偶数
といったものがありますね。そこで
としてみます。 0 が偶数でないとすれば、規則が成り立たなくなってしまいます。「計算結果が 0 でない限り」というように注釈を付け加えた規則にすることも可能かもしれませんが、そんな面倒な規則は鬱陶しいだけで何の益にもなりません。
Excelで 0 の偶奇を調べます
Excel には数値の偶奇性を調べる ISEVEN 関数と ISODD 関数が用意されています。
ISEVEN 関数に偶数を渡すと TRUE, 奇数を渡すと FALSE が返ります。セルに
と入力すると「TRUE」が表示されるので、Excel でも 0 は偶数と定義されていることがわかります。
ISODD 関数に偶数を渡すと FALSE, 奇数を渡すと TRUE が返ります。したがって、セルに
と入力すると「FALSE」となり、0 が奇数ではない、つまり偶数であることがわかります。
[書籍紹介] 高校・大学生のための整数の理論と演習
実際のところ、初等整数論を習得している人は、ゼロの偶奇性について迷うことはありません。整数演算に関する基本的な公理、定義、定理がきちんと整理されて頭に入っているので、直感的にも論理的にも即座に判断できるのです。
もちろん、整数論は本格的に学ぼうとすると大変難しい学問ですが、初等整数論の範囲であれば、順を追って勉強すれば、高校一年生でも理解できます。整数論を学ぶための必要な予備知識はほとんどありません。ベクトルや三角関数、微分積分などを一切知らなくても、すぐに整数論の勉強にとりかかれるのです。
整数論を初めて学ぶ人に紹介したいのが、現代数学社から出版されている『高校・大学生のための整数の理論と演習』(河田直樹著)です。
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この書籍は大学受験生が整数問題の背後にある理論を学ぶことを目的に書かれています。後半部分 (演習編) に大学入試で出題された整数問題が収録されているのですが、前半部分 (理論編) には初等整数論がまとめられています。必要最低限の内容に絞ってありますが、数論の基礎だけ学んでみたいという読者にとってはちょうど良い内容となっています。とはいえ、詳細な証明を省かずに、しっかりと記述されているので、手を動かしながら学べば、整数論の基礎知識を身につけることができます。
コメント
はじめまして。
雑誌を読んでいて、０が奇数か偶数か、とあったもので、確か偶数だったはずと遠い昔の記憶を呼び起こしながら、検索していました。
もう30年も前に中学や高校レベルの数学で偶数奇数を２ｎ、２ｎ+１と習った事を思い出しまして、０が偶数である事の数学的証明の数式もやっと思い出した次第です。以下のような証明式だったかと思いますが。
ｎを整数とした場合、すべての整数に対し2ｎとなるものを偶数、2ｎ+1となるものを奇数と定義する。
0を奇数とすると
2ｎ+1＝0
となる。
これを満たすｎは-1/2となり整数ではないので0は奇数ではない。
ざっとこんな感じの証明式だったはずでしたが。
サイトによっては、０を2で割っても余りが出ないから０は偶数である、などというとんでもない証明まで出ていて正直目がテンとなりました。０はどんな数字で割ろうと０となる、という事も今や常識ではなくなってしまったようで、またびっくりでした。０を２で割ると答えは０となり、余りがないので偶数である、とこんな証明式まで紹介されていたのですよ。今どきの学校ではひょっとしたら ０÷１＝１ とでも教えているのかと思ってしまいました。
ここへ来てやっと２×ｎ、２×ｎ＋１、というような数式が出て来てホッとした次第です。
中学では0は偶数で奇数でもないと習ったので、テストで偶数と書くと✖︎になります。
なので、そういうことを一言記述していただけるとありがたいです。
いったい、その中学校の先生が何を根拠にそんな無茶な断言をしたのかわかりませんが、正しい答えを書いたのに × にされるなんて納得できませんよね。その先生には、ぜひこのサイトの記事を読むように言ってください。この記事の最後にも、私からひと言つけ足しておきますね。
僕も昔、奇数でも偶数でもない数字として習ったのでどっちを信じていいのか、混乱中ですw
…でも確かに、当時の僕も｢え？偶数じゃないの？？｣と思った記憶がありますし、説得力もあるので、取り敢えず0は「偶数」と認識を改めておきます。
未だに議論がある部分なのでしょうか？
ｳ-ﾝ「(:3 」┌)┘w
記事にも書いたように、N = 2a が偶数の定義である以上、0 を偶数とする以外にありません。逆にもし 0 が偶数でないように決めるのならば、偶数の定義自体を変えなくてはなりません。これに関して数学の専門家から異論があるという話も聞いたこともないので、堂々と「0 は偶数」と断言していいと思います。