当サイトではアフィリエイトプログラムを利用して商品を紹介しています。

0で割ってはいけない理由

なぜ0で割ってはいけないのでしょう?

$a$ を $b$ で割ることを文字式で $a/b$ と表現します。そして、このように記述した場合、$b$ は $0$ ではないことが自動的に明示されたことになります。どんな数も0で割ってはいけないということは小学生の頃から教わる規則ですね。しかし「いけない」という表現は「できるけど、やってはいけない」というような意味にとられる可能性もあるので、0で割ることができないと表現した方が良いと思われます。そして割ることができない理由は厳密には2つ存在するのです。その説明に入る前に「割り算は掛け算の逆演算として定義されている」ことを再確認しておく必要があります。たとえば、
 \[5\times 2=10\]
という式において、$10$ を $2$ に戻す演算として
 \[10/5=2\]
あるいは、$10$ を $5$ に戻す演算として
 \[10/2=5\]
を定義します。数学では実数以外にも複素数や行列などにも似たような逆算が定義されています。掛けた数を戻す演算が存在しないと発展性がないからです。一般的に文字で表すと、
 \[a\cdot b=x\tag{1}\]
の逆算(割り算)は
 \[a=x/b,\quad b=x/a\tag{2}\]
となります。(1) と (2) は同じことを表す式です。

0で割ることができない理由①

$1$ を $0$ で割るという表現を分数で表してみます。
 \[1/0=x\]
$1$ を $0$ で割った答えが何らかの数 x になるという式です。この式を掛け算の表式に直すと
 \[1=0\cdot x\]
となりますね。つまり「$0$ をかけて $1$ になるような数 $x$ は何ですか?」という方程式となっています。そんな数は存在しません。つまり方程式は「解なし」です。より一般的に $0$ 以外の数を $a$ とおいて
 \[a/0=x\tag{3}\]
についても、
 \[a=0\cdot x\tag{4}\]
となって、やはりこのような $x$ は存在しません。

0で割ることができない理由②

今度は $0$ を $0$ で割ってみます。
 \[0/0=x\tag{5}\]
やはり掛け算に直すと
 \[0=0\cdot x\tag{6}\]
となります。これは「$0$ を掛けて $0$ になる数は何か?」という方程式です。$x$ に何を入れても等式 (6) は成立します。つまり「解は無数に存在する」ので $x$ を1つに決めることはできません。したがって「$0$ を $0$ で割る演算」も定義することはできません。

エクセルや数学に関するコメントをお寄せください

  1. あとりえこばと より:

    ChatGPTに「どうして、数学では数を0で割ってはいけないのですか?」と質問すると、以下のような回答でした。
     
    数学で0で割ることができないのは、その操作が不定または未定義であるためです。具体的な数学的な理由はいくつかあります。

    1. 未定義の状態が複数存在するため:0で割るという操作は、異なる数を結果として持つ可能性があるためです。例えば、$\frac{1}{0}$と$\frac{2}{0}$はどちらも未定義ですが、それぞれ異なる数になる可能性があります。このような状況では、数学的な議論が一貫性を失い、混乱が生じる可能性があります。

    2. 無限大への収束が定義されているため:数学的には、$\frac{1}{x}$の形の関数は、$x$が0に近づくと無限大に発散すると考えることができます。しかし、具体的な数で0で割るという操作は、この収束の概念と一致せず、扱いづらいものになります。

    3. 数学的な一貫性を保つため:数学は一貫性が非常に重要です。不明確な操作や未定義の状態を避けることで、数学の基本的な原則や定理が成り立つことが確実になります。

    そのため、0で割ることは数学的な文脈で避けられ、未定義とされています。数学的な操作が一貫性を持ち、論理的に進行するためには、このような規則が必要です。