(-1)×(-1)=1の証明

負の数同士を掛け算すると正の数になる理由

中学校の数学の授業で、負の数同士を掛けると正の数となると説明されて、納得できない人も多かったのではないでしょうか。こうした混乱の原因は、はたしてこの演算が「数学の前提として認めてもらうルール（公理）」なのか、あるいは「公理から導かれる性質（定理）」であるのか、はっきりと説明されていないことに原因があるのではないかと思います。結論から言うと、$(-1)\times(-1)=1$ は定理に相当します。他の前提（足し算や 0 の演算規則など）からきちんと導かれます。それでは、さっそく証明してみましょう。

(-1)×(-1)=1の証明

次のような $0$ を使った式から始めます。
 \[(-1)\times 0=0\]
$0=1+(-1)$ という形にわざわざ書き直して
 \[(-1)\times [1+(-1)]=0\]
とします。左辺を展開すると
 \[(-1)\times 1+(-1)\times (-1)=0\]
となるので
 \[-1+(-1)\times (-1)=0\]
最後に両辺に $1$ を加えて
 \[(-1)\times (-1)=1\]
となります。（証明終）

証明に用いているのは足し算や $0$ の演算規則などです。ちなみに $a\times 0=0$ などは $0$ という数の性質を定める定義ですから、どこからか導かれる類のものではありません（公理です）。

【少し難しい証明】もっと数学的に厳密な証明も載せておきます。出発点は代数学の「環の公理」です。なんだか難しそうな用語ですが、要するに以下の演算規則に従う系が「環」であると定義されます。

公理 [R4] より、$1$ の反数 $1’=-1$ が存在します。つまり、
 \[1+(-1)=0\]
なので、
 \[(-1)\times (-1+1)=(-1)\times 0\tag{A}\]
という式が成り立ちますが、この式は分配規則 [R7] を使って
 \[(-1)\times (-1+1)=(-1)\times (-1)+(-1)\tag{B}\]
と表すこともできます。式 (A) と (B) の右辺は等しいはずなので、
 \[(-1)\times (-1)+(-1)=0\]
が成り立ちます。両辺に $1$ を加えると
 \[(-1)\times (-1)+(-1)+1=1\]
反数の性質より、$(-1)+1=0$ なので、
 \[(-1)\times (-1)=1\]
が成立します。（証明終）