(-1)×(-1)=1となる理由

「マイナス×マイナス=プラス」になる理由

 中学校の数学の授業で マイナス掛けるマイナスはプラスになる と説明されて、納得しがたい思いをした人も多かったのではないでしょうか。こうした混乱の原因は、はたしてこの演算が「恣意的に決めたルール(定義)」であるのか、「あまりにも自明なので、証明なしに認めてもらうこと(公理)」なのか、あるいは「他の規則から導かれる性質(定理)」であるのか、はっきりと説明されていないことに原因があるのではないかと思います。結論から言うと、$(-1)\times (-1) = 1$ は定理に相当します。他の前提(足し算や 0 の演算規則など)からきちんと導かれます。それでは、さっそく証明してみましょう。

(-1) × (-1) = 1 の証明

 次のような 0 を使った式から始めます。
 
\[(-1)\times 0=0\]
 $0 = 1 + (-1)$ という形にわざわざ書き直して
 
\[(-1)\times [1+(-1)]=0\]
とします。左辺を展開すると
 
\[(-1)\times 1+(-1)\times (-1)=0\]
となるので
 
\[-1+(-1)\times (-1)=0\]
 最後に両辺に $1$ を加えて
 
\[(-1)\times (-1)=1\]
となります。(証明終)
 証明に用いているのは足し算や $0$ の演算規則などです。ちなみに $a\times 0=0$ などは $0$ という数の性質を定める定義ですから、どこからか導かれる類のものではありません(公理です)。

【少し難しい証明】もう少し数学的にきちんとした証明も載せておきます。出発点は代数学の「環の公理」です。なんだか難しそうな用語ですが、要するに以下の演算規則に従う系が「環」であると定義されます。

【環の公理】
[R1] $a + b = b + a$
[R2] $a + (b + c) = (a + b) + c$
[R3] $a + z = z + a = a$ を満たす数 (零元) $z$ が存在する。($z=0$ と表す)
[R4] $a + a’ = a’ + a = 0$ となるような $a$ の反数 $a’$ が存在する。($a’=-a$ と表す)
[R5] $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
[R6] $a\cdot u=u\cdot a=a$ を満たす $u$ が存在する。($u=1$ と表す)
[R7] $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\quad (b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$ (分配規則)

 公理 [R4] より、$1$ の反数 $1’=-1$ が存在します。つまり、
 
\[1+(-1)=0\]
なので、
 
\[(-1)\times (-1+1)=(-1)\times 0\tag{A}\]
という式が成り立ちますが、この式は分配規則 [R7] を使って
 
\[(-1)\times (-1+1)=(-1)\times (-1)+(-1)\tag{B}\]
と表すこともできます。式 (A) と (B) の右辺は等しいはずなので、
 
\[(-1)\times (-1)+(-1)=0\]
が成り立ちます。両辺に $1$ を加えると
 
\[(-1)\times (-1)+(-1)+1=1\]
 反数の性質より、$(-1)+1=0$ なので、
 
\[(-1)\times (-1)=1\]
が成立します。(証明終)

コメント

  1. 匿名 より:

    (-1)×(-1)=1は、私は定義だと思っています。

    定理だとおっしゃるのなら、では(-1)×(-1)の定義は何だとお考えですか?

    • Blog Cat より:

       コメントありがとうございます。
       以下の環の公理を認めることから出発したいと思います。

       R1 a + b = b + a
       R2 a + (b + c) = (a + b) + c
       R3 a + 0 = 0 + a = a を満たす数 0 が存在する
       R4 a + (-a) = (-a) + a = 0 となる反数 a が存在する
       R5 ab = ba
       R6 (ab)c = a(bc)
       R7 a・1 = 1・a = a
       R8 a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca

       R4 により -1 は 1 の反数です。あえて、ここではその反数を a とおいてみます(公理によって存在するとされています)。つまり a は

       a + 1 = 0

      をみたす数です。(-1)×(-1) は

       a × a

      と書き直せます。これが (-1)×(-1) の定義、つまり「 1 の反数同士の積」であると考えています。公理によって

       a × (a + 1) = a × 0 = 0
       a × (a + 1) = a × a + a

      の2通りの形で表すことができます。よって

       a × a + a = 0

       両辺に a の反数 1 を加えると

       a × a + a + 1 = 1

       a + 1 = 0 ですから、

       a × a = 1

      が導かれます …… たぶんこれでいいと思いますけど、あまり自信はないです。まだどこかに穴があるかもしれません。不備を見つけたら、またどんどん指摘してくださいね。何はともあれ(スパム以外で)初めてのコメントなので嬉しいです。またよろしくです♪

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