不思議な巡回数(ダイヤル数)
142857 は不思議な数です。
この数を順に整数倍していくと
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
というように、各桁の数が順序を崩さずにぐるぐると巡回(ダイヤル)させた数になっているのです。このような数を巡回数 (cyclic number) といいます。次に 7 を掛けてみると
あれ? 9 が並びました。巡回していませんね。
1 倍から 6 倍までの結果が単なる偶然の産物だったのでしょうか?
決してそんなことはありません。再び 8, 9, 10, ...... を掛けてみると
142857 × 9 = 1285713
142857 × 10 = 1428570
142857 × 11 = 1571427
142857 × 12 = 1714284
142857 × 13 = 1857141
微妙に規則性が崩れているように思えますが、先頭の 1 を末尾の数に加えてみると
285714
428571
571428
714285
857142
というように、ちゃんと巡回しています。でも 14 をかけると
先頭の数を末尾に加えると
再び 9 が並びました。
もっと大きな数で試してみましょう。
皆さんも電卓やエクセルで確認してみてください。
142857×159 = 22714263
142857×160 = 22857120
今度は左から 2 桁の数を末尾に加えると
714285
857142
となっています。この巡回はずっと続きます。ただし、7 の倍数を乗じたときだけ、9 が並びます。その理由は 142857 という数字が、1 を 7 で割ったときの数
の循環小数部分となっているからです。この数字に 7 を掛けてみると
となります。小数点以下に 9 が無限に続いているので、これは 1 と同じことです。つまり
となって辻褄が合っていますね。
え? 何か騙された気がする?
0.999999999999999999 ...... は 1 ではない?
いえ、本当なんです。
これが微積で用いられる「極限」という概念なのです。
実はこの巡回数、素数と深い関係があります。
巡回数 1/p の分母 p は素数 7, 17, 29, 23, 29, 47 ...... などの素数となっています(すべての素数が巡回数の分母となるわけではありません)。こうした規則性は初等的な数論によって導かれますが、それは近いうちに数論講座で取り上げます。