巡回数（ダイヤル数）

不思議な巡回数（ダイヤル数）

　142857 は不思議な数です。
　この数を順に整数倍していくと

というように、各桁の数が順序を崩さずにぐるぐると巡回（ダイヤル）させた数になっているのです。このような数を巡回数 (cyclic number) といいます。次に 7 を掛けてみると

　あれ？　9 が並びました。巡回していませんね。
　1 倍から 6 倍までの結果が単なる偶然の産物だったのでしょうか？
　決してそんなことはありません。再び 8, 9, 10, ...... を掛けてみると

　微妙に規則性が崩れているように思えますが、先頭の 1 を末尾の数に加えてみると

というように、ちゃんと巡回しています。でも 14 をかけると

先頭の数を末尾に加えると

　再び 9 が並びました。
　もっと大きな数で試してみましょう。
　皆さんも電卓やエクセルで確認してみてください。

　今度は左から 2 桁の数を末尾に加えると

となっています。この巡回はずっと続きます。ただし、7 の倍数を乗じたときだけ、9 が並びます。その理由は 142857 という数字が、1 を 7 で割ったときの数

の循環小数部分となっているからです。この数字に 7 を掛けてみると

となります。小数点以下に 9 が無限に続いているので、これは 1 と同じことです。つまり

となって辻褄が合っていますね。

　え？　何か騙された気がする？
　0.999999999999999999 ...... は 1 ではない？
　いえ、本当なんです。
　これが微積で用いられる「極限」という概念なのです。

　実はこの巡回数、素数と深い関係があります。
　巡回数 1/p の分母 p は素数 7, 17, 29, 23, 29, 47 ...... などの素数となっています（すべての素数が巡回数の分母となるわけではありません）。こうした規則性は初等的な数論によって導かれますが、それは近いうちに数論講座で取り上げます。